Дифференцирование векторных величин

Производная вектора. Рассмотрим вектор , который изменяется по закону: , где t – время, тогда производная вектора по переменной t равна:

Дифференциалом (приращением) функции называется выражение , тогда, используя выражение для производной вектора , получим дифференциал вектора :

Производная произведения векторов. Производная от скалярного и векторного произведения осуществляется по известным формулам:

(Примечание: некоторые понятия векторного анализа – градиент, циркуляция, ротор, а также элементы теории вероятности – мы рассмотрим в дальнейшем по ходу курса).

2. Кинематика поступательного движения. Любое механическое движение тела можно представить в виде суммы поступательного и вращательного движений.

Поступательным называется такое движение, при котором любая прямая, проведённая в теле, остаётся параллельной самой себе. При этом скорости всех точек тела одинаковы.

Для того чтобы описать движение, нужно задать систему отсчёта – это тело отсчёта, которое условно считается неподвижным, система координат, связанная с телом отсчёта, и прибор для измерения времени («часы»).

Принцип относительности Галилея: механические явления и форма законов, их описывающих, не изменяются при переходе из одной инерциальной системы отсчёта (ИСО) в другую (напомним, что ИСО называется такая система отсчёта, в которой выполняется 1-й закон Ньютона).

Никакими механическими опытами нельзя определить, покоится ли данная СО или движется прямолинейно и равномерно.

Преобразования Галилея. Пусть имеется две ИСО. Система отсчёта К, которую будем считать неподвижной, и система , которая будет двигаться равномерно и прямолинейно со скоростью V₀ (рис. 1.7).

Рис. 1.7

Выберем координатные оси X, Y, Z системы К и оси , , системы , так чтобы оси X и совпадали, а Y и , а также Z и были параллельными друг другу.

Найдём связь между координатами x, y, z некоторой точки Р в системе К и координатами , , той же точки в системе .

Если начать отсчёт времени с того момента, когда начала координат обеих систем совпадает, то из рисунка следует:

Продифференцировав эти уравнения по времени, можно получить связь проекций скоростей точки Р в системах К и на оси координат:

Причём время в обеих системах отсчёта согласно классическим представлениям .

Заметим, что при скоростях , сравнимых со скоростью света, преобразования Галилея должны быть заменены на более общие преобразования Лоренца. При описании движения микрочастиц используются методы квантовой механики.

3. Понятие материальной точки. Тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь, называется материальной точкой. Линия, которую описывает материальная точка при своём движении, называется траекторией. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное, криволинейное, движение по окружности и т.п.

Пусть материальная точка (частица) переместилась по некоторой траектории из точки 1 в точку 2. Расстояние между точками 1 и 2, отсчитываемое вдоль траектории, называется путём (обозначен ). Прямолинейный отрезок, проведённый из точки 1 в точку 2, называется перемещением, или вектором перемещения (обозначен ) (рис. 1.8).

Скорость – векторная величина, характеризующая быстроту перемещения и направление движения частицы. Разобьём траекторию на участки , каждому из которых соответствует перемещение (рис. 1.9). По определению

Таким образом, скорость есть производная радиус-вектора частицы по времени. Перемещение совпадает с бесконечно малым элементом траектории. Следовательно, вектор направлен по касательной к траектории.

Модуль скорости . При , тогда

т.е. модуль скорости равен производной пути по времени.

Вектор скорости, как и любой вектор, можно выразить через его компоненты , , :

Модуль скорости:

Свяжем компоненты скорости с компонентами радиус-вектора

, производная:

,

сравнивая выражения и для , получим:

т.е. проекции вектора скорости на координатные оси равны производным по времени соответствующих координат движущейся частицы.

Ускорение – векторная величина, характеризующая изменение скорости по величине и направлению. По определению ускорения :

Легко показать (читатель сам может это проверить), что

,

,

.

4. Радиус кривизны траектории. Можно показать, что в общем случае при движении по криволинейной траектории с переменной скоростью вектор ускорения можно представить в виде: , или

,

где

Первое слагаемое – тангенциальное ускорение , характеризующее изменение скорости по абсолютной величине, где – единичный вектор, направленный по касательной к траектории ( ) (рис. 1.10).

Второе слагаемое – нормальное (центростремительное ускорение), характеризующее изменение скорости по направлению, где – единичный вектор нормали, направленный перпендикулярно скорости и по модулю равный единице: ; – радиус кривизны, представляющий собой радиус окружности, которая сливается в данном месте с кривой на бесконечно малом её участке. Центр такой окружности называется центром кривизны для данной точки кривой (рис. 1.11).

Пример решения задачи на кинематику поступательного движения материальной точки.

Дано: м	Решение: = = , .
Найти: , ,

Вопросы для самоконтроля

1. Дайте определения скалярного и векторного произведения векторов.

2. Что такое радиус-вектор?

3. Какое движение называется поступательным?

4. В чём заключается принцип Галилея? Что устанавливают преобразования Галилея?

5. Что такое скорость? Как найти модуль скорости?

6. Какова ориентация векторов тангенциального и нормального ускорений? Запишите соответствующие выражения для них.

Лекция № 2