Основное уравнение гидростатики

Преобразуем систему уравнений (29). Для этого умножим первое уравнение на dx, второе – на dy, третье – на dz

=

= (30)

Сложив левые и правые части уравнения системы, получим дифференциальное уравнение равновесия жидкости

. (31)

Правая часть уравнения представляет собой полный дифференциал давления , тогда можно записать вместо (31)

. (32)

Полученное уравнение является основным уравнением гидростатики в дифференциальной форме. Однако, гораздо чаще пользуются уравнением в более простой форме, когда из объёмных сил действует только сила тяжести. В этом случае A_x=0, A_y=0, A_z= - g и уравнение запишется в виде

. (33)

Проинтегрировав (33), получим основное уравнение гидростатики в виде

. (34)

Проиллюстрируем полученное уравнение. Для этого рассмотрим замкнутый сосуд с жидкостью, плотность которой и на поверхности которой давление р_о

Рис. 2. Замкнутый сосуд с жидкостью

Выбираем произвольную точку 1, расположенную на высоте z₁. На основании основного уравнения гидростатики (34) можно записать

(35)

здесь p₁ - гидростатическое давление в точке 1;

z₁ - высота положения выбранной точки над плоскостью сравнения.

Сумма гидростатического давления и произведения ρgz является величиной, постоянной для данного сосуда. Если для сравнения выберем точку 0 на поверхности жидкости, высота которой z₀ , то уравнение (35) приобретёт вид

откуда,

(36)

где (z₀- z₁)= h₁ глубина погружения точки 1.

Соответственно, давление в произвольной точке будет равно сумме давления на поверхности жидкости плюс давление столба жидкости над этой точкой

(37)

Полученное уравнение (37) – это ещё одна, часто употребляемая формула основного уравнения гидростатики.

Основные понятия гидростатики

Рис.3.Замкнутый сосуд с пьезометрами

Рассмотрим замкнутый сосуд с жидкостью, на поверхности которой действует давление p₀. Допустим, что в произвольных точках 1 и 2 выполнены отверстия, к которым присоединены трубки открытые вверху (сообщающиеся с атмосферой). Если давление на поверхности жидкости в сосуде больше атмосферного, то жидкость в трубках поднимется выше уровня жидкости в сосуде. Высота подъёма жидкости в трубках называется пьезометрической высотой, а сама трубка пьезометром.Пьезометрическая высота – это высота, на которую поднимается жидкость в пьезометре под воздействием давления в точке установки пьезометра. На основании основного уравнения гидростатики можно записать

(38)

где Н - пьезометрический напор, значение которого для данного сосуда постоянно.

Пьезометрический напор – это сумма двух высот – высоты выбранной точки и пьезометрической высоты, которая зависит от давления жидкости в заданной точке. Кроме геометрической интерпретации (38), где все члены уравнения выступают в роли высот и измеряются в метрах, существует энергетическая интерпретация и соответственное написание основного уравнения гидростатики, где все члены уравнения трактуют как потенциальную энергию

(39)

здесь gz₁, gz₂ – удельная потенциальная энергия положения;

- удельная потенциальная энергия давления;

- полная удельная потенциальная энергия жидкости в данной точке.

Уровни жидкости во всех пьезометрах будут расположены на одной высоте, в одной плоскости, которая называется плоскостью пьезометрического напора. Кроме этой плоскости в гидростатике используют также горизонтальные плоскости сравнения и свободной поверхности. Плоскость сравнения необходима для определения взаимного высотного расположения отдельных точек. Обычно, для удобства пользования в качестве плоскости сравнения выбирают дно сосуда либо свободную поверхность жидкости. Поверхность, отделяющая жидкость от газов, называется свободной поверхностью.

На рис.3. жидкость в пьезометрах поднялась выше уровня жидкости в сосуде, потому что давление в сосуде на поверхности жидкости больше атмосферного p₀>p_ат. Разность уровней жидкости в пьезометрах и сосуде как раз и обусловлена разностью давлений (p₀ - p_ат), которая называется избыточным или манометрическим давлением. Жидкость в трубках пьезометров поднимается над уровнем жидкости в сосуде на высоту под действием избыточного давления

(40)

где ∆h - разница уровней жидкости в пьезометре и сосуде;

p_изб - избыточное (манометрическое) давление на поверхности жидкости в сосуде.

Если давление в сосуде снижать до p₀ = p_ат, то уровень жидкости в пьезометре также опустится до уровня жидкости в сосуде. ∆h=0.

Дальнейшее понижение уровня жидкости в пьезометре возможно только при снижении давления в сосуде ниже атмосферного. И если давление сверх атмосферного называется избыточным, то недостаток давления до атмосферного называется вакуумом. Величину вакуума можно измерять специальным U – образным пьезометром (рис.4). Нижняя часть пьезометра, заполняемая обычно ртутью, имеет гидравлический затвор, не позволяющий жидкости вытечь из трубок в сосуд. Глубину вакуума определяемую разностью давлений p_вак= p_атм – p₀,

Рис.4. Замкнутый сосуд с U образным пьезометром

можно определить, замерив вакуумметрическую высоту, p_вак= ,

где - плотность жидкости в пьезометре.