Дифференциальные уравнения равновесия жидкости

Рассмотрим жидкость, находящуюся в равновесии. Выбираем систему произвольных координат с центром в точке O и зафиксируем произвольную точку A с координатами x, y, z (см. рис.1).

Построим вокруг этой точки элементарный параллелепипед с гранями равными: dx, dy, dz. На выделенный объём действуют внешние силы, поэтому он будет находиться в равновесии, если сумма проекций всех действующих сил на каждую ось будет равна нулю. Определим все внешние силы — массовые и гидростатического давления — действующие на грани параллелепипеда со стороны окружающей жидкости. Обозначим проекции массовых сил, отнесенных к единице массы, на координатные оси: Аx, Ay, Az. Тогда проекции массовых сил на ось х

Рис. 1. Элементарный параллелепипед, описанный вокруг точки А.

dFx = Axdm = Axρdxdydz, (15)

здесь dm — масса элементарного объёма жидкости

dm = ρdV = ρdxdydz. (16)

Аналогично, проекции массовых сил на оси y и z:

dFy = A_ydm = Ayρdxdydz; (17)

dFz = Axdm = Azρdxdydz. (18)

Теперь рассмотрим силы гидростатического давления, действующие на параллельные грани параллелепипеда 1–2–3–4 и 5–6–7–8. Обозначим силы давления буквами и . В соответствии с первым свойством гидростатического давления силы давления действуют нормально к поверхностям 1–2–3–4 и 5–6–7–8 и являются силами сжимающими. Если в точке А гидростатическое давление р, то на расстоянии , на плоскостях 1–2–3–4 и 5–6–7–8 будут действовать давления

 (19)

. (20)

где p/ x– градиент давления на расстояние от точки А.

Тогда проекции сил действующие на площади dy^.dz поверхностей 1–2–3–4 и 5–6–7–8:

 , (21)

. (22)

Уравнение равновесия параллелепипеда относительно оси Х получим, приравняв к нулю сумму проекций на ось Х всех внешних сил

. (23)

Подставив в уравнение (23) значения всех действующих сил получим

. (24)

Раскроем скобки

. (25)

Проведя сокращения и перегруппируя члены уравнения, получим

. (26)

Аналогично получаем уравнения равновесия относительно осей у и z

. (27)

(28)

Таким образом, скомпонована система уравнений (26,27,28) равновесия жидкости, которую впервые получил Л.Эйлер

= 0

= 0 (29)