Нормально распределенные случайные числа

1. 0,464 13. -1,010 25. 0,225
2. 0,060 14. -0,005 26. 1,678
3. 1,486 15. 1,393 27. -0,15
4. 1,022 16. 0,137 28. 0,598
5. 1,394 17. -2,256 29. -0,899
6. 0,906 18. -0,354 30. -1,163
7. 1,179 19. -0,472 31. 2,455
8. -1,501 20. -0,555 32. -0,531
9. -0,69 21. -0,513 33. -0,634
10. 1,372 22. -1,055 34. 1,279
11. -0,482 23. -0,488 35. 0,046
12. -1,376 24. 0,756 36. -0,525

Для получения нормально распределенных случайных величин с произвольными значениями необходимо сделать пересчет по формуле

 

.

 

Для получения коррелированных величин с произвольными значениями необходимо воспользоваться формулой:

 

,

 

где – произвольные постоянные коэффициенты.

Требуется найти оценки для числовых характеристик системы: математических ожиданий , элементов ковариационной матрицы { }, элементов нормированной корреляционной матрицы . Оценки для математических ожиданий найдутся как средние арифметические

, ;

несмещенные оценки для дисперсий определятся по формулам

 

,

 

для корреляционных моментов – по формулам

 

.

 

По этим данным определяются оценки для элементов нормированной корреляционной матрицы

.

где ; .

 

8.5.2.2. Определить вероятность попадания случайной точки в произвольную область -мерного пространства

 

Вероятность выражается -кратным интегралом по области

 

.

 

В случае, если нормально распределенные случайные величины независимы, а область представляет собой -мерный прямоугольный параллелепипед со сторонами, параллельными координатным осям, то вероятность попадания случайной точки в эту область выражается через функцию Лапласа:

 

,

где , – координаты границ прямоугольного параллелепипеда в направлении оси ; , – математическое ожидание и с.к.о. случайной величины , – функция Лапласа.

 

8.2.1. Проверка гипотезы о векторе математического ожидания контролируемых параметров большой партии изделий с нормальным законом распределения и известной ковариационной матрицей по выборке малого объема (n1 = 40)

Гипотеза H0: ,

где – оценка вектора выборочного среднего;

где – вектор математического ожидания.

Гипотеза Н1: .

 

Вид выборки: любая – большая, малая.

Закон распределения: многомерный нормальный закон распределения. Его плотность записывается в виде

 

,

 

где , – определитель матрицы K.

 

, .

 

Статистика: .

Закон распределения статистики U – -распределение с числом степеней свободы k = n.

Доверительную область можно получать в n-мерном пространстве в виде .

Эта область представляет собой эллипсоид (в двумерном случае – эллипс).

Пример 8.1. По данным контрольных замеров деталей (табл. 8.2), изготовленных на десяти станках (n1 = 10), проверить гипотезу с уровнем значимости о соответствии средних измеряемых параметров деталей X1, X2, X3 (n = 3) контрольным значениям ; ; .

Ковариационная матрица считается известной

 

.

 

Исходная информация для сравнения параметров Таблица 8.3

Номер изделия № станка
X1
X2 1,2 1,2 1,4 1,2 1,2 1,5 1,5 1,3 1,7 1,6
X3 2,1 2,8 3,2 4,5 4,8 4,9 5,5 6,5 8,5

 

Решение. Исходя из условия задачи, требуется проверить гипотезу H0:

 

.

 

Получим неравенство , т.е. гипотеза Н0 отвергается с вероятностью ошибки 0,95.

Таким образом, средние уровни измеряемых параметров деталей не соответствуют контрольным цифрам.

 

8.2.2. Проверка гипотезы о векторе математического ожидания контролируемых параметров большой партии изделий с нормальным законом распределения и неизвестной ковариационной матрицей по выборке малого объема (n1 = 40)

В отличие от случая 8.5.2 используется статистика Хоттелинга: , где – выборочная ковариационная матрица с элементами , где – значение параметра i в v эксперименте.

Закон распределения статистики – F-распределение с n (для числителя) и n1 – 1 (для знаменателя) степенями свободы.

Доверительную область можно получить в n-мерном пространстве в виде

 

.

 

Это снова эллипсоид.

Пример 8.2. В условиях предыдущего примера решить задачу при неизвестной ковариационной матрице.

Решение. Требуется проверить гипотезу H0: против H1: .

Прежде всего, находим оценку ковариационной матрицы:

 

.

 

Значение функции F-распределения .

Получаем соотношение , которое говорит о том, что гипотеза Н0 и в этом случае отвергается с вероятностью 0,95.

8.2.3. Проверка гипотезы о средних значениях n контролируемых параметров двух больших партий изделий с нормальным законом распределения и известной ковариационной матрицей по выборке малого объема (n1 = 40; n2 = 40)

 

Гипотеза H0: ,

Гипотеза H1: .

 

Вид выборки: любая – большая, малая.

Закон распределения: многомерные нормальные законы распределения , .

Статистика: .

Закон распределения статистики U - -распределение с числом степеней свободы k = n.

Доверительная область определяется условием

 

.

 

Эта область представляет собой эллипсоид.

8.2.4. Проверка гипотезы о средних значениях n контролируемых параметров двух больших партий изделий с нормальным законом распределения и неизвестной ковариационной матрицей по выборке малого объема (n1 = 40; n2 = 40)

В отличие от случая 8.5.3 используется статистика:

 

,

.

 

Здесь , – ковариационные матрицы партий № 1, № 2.

Закон распределения статистики U – F-распределение с n (для числителя) и (n1 + n2 – n – 1) (для знаменателя) степенями свободы.

Доверительную область получим из условия:

 

.

 

Как и ранее, это снова эллипсоид.

 

Подробные таблицы математической статистики можно взять из учебного пособия [1].

8.3. Методические рекомендации к теоретическому разделу 1.

Целесообразно при оценивании параметров распределений формируемых статистик отследить влияние на точность оценок размера выборки. Следует при этом убедиться, что при переходе к интервальному (доверительному) оцениванию точность оценок не повышается. Такой прием (интервальное оценивание) позволяет знать точность и надежность (достоверность) оценки и не более.

Одним из путей повышения точности оценок является увеличение объема выборки n1.

 






Дата добавления: 2016-12-09; просмотров: 1692; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2022 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.066 сек.