Алгебраическая форма комплексного числа
Число называется мнимой единицей.
Квадрат мнимой единицы представляет собой вещественное число, равное -1:
.
Тогда для любого числа имеем
.
Это алгебраическая форма комплексного числа.
Пусть и , тогда
,
,
,
.
1.4. Сопряжение.Пусть .
Сопряженное к z число: .
Свойства операции сопряжения:
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. .
1.5. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел.Точка на плоскости может быть задана не только декартовыми, но и полярными координатами :
.
Число r называется модулем числа z, - аргументом:
.
Рис.2.
Аргумент определен неоднозначно (с точностью до ), поэтому различают
(1) главное значение аргумента или ;
(2) (многозначный) аргумент ; используются также записи
, .
Комплексное число можно записать в виде
Это – тригонометрическая форма записи комплексных чисел.
Перемножим два числа:
Таким образом,
.
1.6. Формула Эйлера. Рассмотрим функцию
.
Она обладает свойством
.
Эта функция обозначается :
;
Это – формула Эйлера.
Средствами анализа можно доказать, что функция действительно является показательной функцией.
Показательная форма записи комплексных чисел:
,
где
.
Из формулы Эйлера получаем:
;
Складывая/вычитая эти равенства находим
.
1.7. Возведение в степень. Тригонометрическая и показательная формы записи полезны при возведении комплексных чисел в степень:
.
Дата добавления: 2016-07-27; просмотров: 1446;