Алгебраическая форма комплексного числа

Число называется мнимой единицей.

Квадрат мнимой единицы представляет собой вещественное число, равное -1:

.

Тогда для любого числа имеем

.

Это алгебраическая форма комплексного числа.

Пусть и , тогда

,

,

,

.

1.4. Сопряжение.Пусть .

Сопряженное к z число: .

Свойства операции сопряжения:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

1.5. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел.Точка на плоскости может быть задана не только декартовыми, но и полярными координатами :

.

Число r называется модулем числа z, - аргументом:

.

Рис.2.

Аргумент определен неоднозначно (с точностью до ), поэтому различают

(1) главное значение аргумента или ;

(2) (многозначный) аргумент ; используются также записи

, .

Комплексное число можно записать в виде

Это – тригонометрическая форма записи комплексных чисел.

Перемножим два числа:

Таким образом,

.

1.6. Формула Эйлера. Рассмотрим функцию

.

Она обладает свойством

.

Эта функция обозначается :

;

Это – формула Эйлера.

Средствами анализа можно доказать, что функция действительно является показательной функцией.

Показательная форма записи комплексных чисел:

,

где

.

Из формулы Эйлера получаем:

;

Складывая/вычитая эти равенства находим

.

1.7. Возведение в степень. Тригонометрическая и показательная формы записи полезны при возведении комплексных чисел в степень:

.