НЕСТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Если температурное поле меняется во времени, то тепловые процессы, протекающие в таких условиях, называют нестационарными.

Нестационарные процессы теплопроводности так же широко распространены в технике, как и стационарные. Это процессы нагревания или охлаждения тел.В режиме нестационарной теплопро-водности работают, например, регенеративные воздухоподогреватели котельных установок, в которых одна и та же поверхность нагрева омывается то горячим, то холодным теплоносителем (дымовыми газами или воздухом). При протекании горячих дымовых газов тепло воспри-нимается стенками воздухоподогревателя и в них аккумулируется. При протекании холодного воздуха это аккумулированное тепло им воспри-нимается.

Другой пример – пропарочные камеры на заводах сборного железобетона, в которых для ускорения твердения бетона применяют его термовлажностную обработку, которая включает в себя периоды нагревания, изотермической выдержки (при максимальной температуре) и охлаждения.

Передачу теплоты при нестационарном режиме можно определить, если найти закон изменения температурного поля и теплового потока во времени и в пространстве:

Т = f (x,y,z ,t) и Q = φ (x,y,z ,t). (2.52)

При оценке нестационарного режима теплообмена цель расчета состоит в определении температурного состояния тела и количества полученной или отданной телом теплоты по истечении определенного периода времени.

Зависимость температуры не только от координат, но и от времени затрудняет графическое изображение даже одномерного температур-ного поля. На рис. 2.8,α показаны кривые изменения температуры тела в процессе его нагревания. При погружении тела в среду теплоносителя с постоянной температурой Т_ж сначала прогревается поверхность тела Т_ст, а спустя какое-то время начинает изменяться температура центра Т_ц. С увеличением времени прогрева температуры в теле выравниваются и при t → ∞ становятся равными температуре греющей жидкости. Характер изменения теплового потока, поступающего в тело при его нагревании, показан на рис. 2.8,b. Тело перед нагревом имело однород-ное температурное поле.

Рис.2.8. Зависимость температуры стенки и количества

передаваемого тепла от времени при нагревании

По мере прогрева тела количество воспринимаемой теплоты сначала резко увеличивается, достигает некоторого максимума, соответ-ствующего максимальной разности температур поверхности и центра, затем уменьшается и в пределе становится равной нулю. Площадь, ограниченная осью абсцисс и кривой Q= f (t), соответствует полному количеству теплоты, поступившему в тело за время t. Эта теплота аккумулируется телом и идет на повышение его энтальпии (теплосодержания).

Аналогичным образом протекает и процесс охлаждения тела, при этом его энтальпия уменьшается, а выделенная теплота передается в окружающую среду. На рис. 2.9 показано температурное поле для всех точек (точнее, изотермических поверхностей) однородной плоской стенки при одинаковых условиях охлаждения обеих ее поверхностей. При таком изображении поля температурное состояние можно охарактеризовать только в определенные моменты времени t.

Рис.2.9. Температурное поле однородной плоской стенки при

одинаковых условиях охлаждения обеих ее поверхностей

Решение задачи нестационарной теплопроводности сводится к определению зависимости температуры и переданного количества теплоты от времени для любой точки тела. Однако такие решения могут быть получены при целом ряде упрощений и только для твердых тел простой формы – пластины, цилиндра и шара. Для практического использования эти решения обычно представляют в виде графиков.

Указанные зависимости могут быть найдены из решения дифференциального уравнения теплопроводности в твердом теле (без внутренних источников теплоты):

∂Т/ ∂t = αѲ Т. (2.53)

Решение уравнения (2.53) содержит постоянные интегрирования, для определения которых воспользуемся граничными условиями третьего рода, т.е. зададимся характером взаимодействия тела с окружающей средой

α (Т_ст– Т_ж) = - λ_ст(∂Т/ ∂n)_п=0, (2.54)

где α – коэффициент теплоотдачи между жидкой (газообразной)

средой и поверхностью твердого тела;

Т_ст – температура поверхности стенки;

Т_ж - температура окружающей среды;

λ_ст - коэффициент теплопроводности стенки;

(∂Т/ ∂n)_п=0 - градиент температуры на поверхности стенки.

Физические параметры тела λ, с и ρ считаются постоянными, а начальное распределение температуры равномерным.

При одинаковой температуре во всех точках твердого тела, равной Т_о, в начальный момент процесса теплообмена временные (начальные) условия имеют простой вид:

при t = 0 Т = Т_о. (2.55)

Решение уравнения (2.53) с учетом граничных (2.54) и временных (2.55) условий дает уравнение температурного поля вида:

Т = f (α, λ, α, t, x, y, z, Т_о, Т_ср, l_о, l₁, ..., l_n). (2.56)

Из уравнения (2.56) видно, что температура зависит от большого числа переменных и постоянных параметров и решение его пред-ставляет весьма сложную математическую задачу. Подробное изложение решений имеется в специальных курсах по теплопередаче.

Анализ уравнения (2.56) показал, что температуру твердого тела целесообразно представить в виде безразмерной избыточной температуры, а переменные и постоянные параметры сгруппировать в три безразмерных комплекса .

Обозначим избыточную температуру в любой точке тела в произвольный момент времени через θ:

θ = Т – Т_ж. (2.57)

.

Для точек, расположенных на поверхности и в центре стенки (на оси цилиндра) :

θ_ст = Т_ст – Т_ж; θ_ц = Т_ц – Т_ж. (2.58)

Для начального момента времени:

θ_о = Т_о – Т_ж. (2.59)

Тогда безразмерная избыточная температура:

θ/θ_о = (Т – Т_ж) / (Т_о – Т_ж). (2.60)

Безразмерные комплексы:

Bi = αl/λ – число Био; (2.61)

Fо = αt/l² – число Фурье; (2.62)

ξ/l - безразмерная координата;

ξ - координата (ξ = x – для стенки; ξ = r -для цилиндра);

l - характерный линейный размер тела (l = δ – для

стенки, толщина которой равна 2δ ; l = R – для цилиндра).

Числа Био и Фурье являются критериями теплового подобия (подроб-нее о теории подобия см. в разделе «Конвективный теплообмен»). Число Био представляет собой один из самых важных параметров теории теплопроводности. Им определяется характер соответствия между тем-пературными условиями в окружающей среде и распределением температуры в теле:

Bi = α/(λ/l).

Число Bi является количественной мерой интенсивности теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой, оцениваемой по сравнению с проводимостью λ/l стенки.

Число Фурье является мерой скорости изменения температуры тела при неустановившемся тепловом состоянии:

Fо = αt/l² = (λ/l)l²t / сρl³.

Fo представляет собой отношение масштаба количества теплоты (λ/l)l²t, притекающей вследствие теплопроводности, к масштабу изменения теплосодержания тела сρl³.

В результате решение дифференциального уравнения теплопровод-ности, описывающее нестационарное температурное поле в теле, имеет следующий вид:

_n=∞

θ/θ_о = ∑ A(μ_n)U(μ_n ξ/l)exp(-μ_n²Fo), ( 2.63)

ⁿ⁼¹

где А и U - некоторые функции;

μ_n – корни характеристического уравнения μ=μ(Bi).

Или в общем виде

θ/θ_о = f ( Fo, Bi, ξ/l), (2.64)

вид функции в котором зависит от формы тела.