ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВЯЗКОСТИ ЖИДКОСТИ С ПОМОЩЬЮ КАПИЛЛЯРНОГО ВИСКОЗИМЕТРА И МЕТОДОМ СТОКСА

Течение реальной жидкости по трубе постоянного сечения сопровождается падением статического давления. Это явление объясняется наличием у жидкости внутреннего трения (вязкости) и сопровождается переходом части ее механической энергии во внутреннюю. При ламинарном течении жидкости по трубе скорость слоев непрерывно меняется от максимальной (по оси трубы) до нуля (у стенок).

Любой из слоев тормозит движение соседнего слоя, расположенного ближе к оси трубы, и оказывает ускоряющее действие на слой, расположенный дальше от оси.

Между соприкасающимися слоями жидкости действуют касательные силы внутреннего трения. Модуль этих сил зависит от площади S слоев и градиента скорости d /dx (изменения скорости на единицу длины в направлении, перпендикулярном скорости) и определяется законом Ньютона:

, (7.1)

где η – динамический коэффициент вязкости, численно равный силе трения, возникающей между параллельно движущимися слоями жидкости единичной площади при единичном градиенте скорости.

В системе СИ за единицу вязкости принимается вязкость жидкости, у которой сила трения между двумя соприкасающимися слоями, рассчитанная на единицу площади (1 квадратный метр) равна одному ньютону при градиенте скорости 1 или 1 .

Единица вязкости в СИ – Паскаль-секунда ( ):

.

Для единицы вязкости в системе СГС установлено название “пуаз” (Пз).

.

Вязкостью в один пуаз обладает жидкость, у которой сила трения между двумя соседними слоями, рассчитанная на 1 площади соприкосновения слоев при градиенте скорости 1 , равна одной дине (единица силы в системе СГС):

Легко видеть, что 1 Па×с = 10 пуаз=10 Пз,

1Пз= 1 пуаз = 0,1 Па×с.

На практике часто употребляется в сто раз меньшая единица вязкости – сантипуаз. Примерно такую вязкость имеет вода при 20 °С.

1 сантипуаз = 10^-2 пуаз=10^-3 Па×с.

Вязкость других жидкостей имеет разнообразные значения. Вязкость этилового спирта при 20 °С равна 1,2 сантипуаза, этилового эфира – около 0,2 сантипуаза. Глицерин имеет вязкость 850 сантипуазов при температуре 20 °С и 350 сантипуазов при 30 °С.

Вязкость некоторых жидкостей (эмульсии, суспензии, растворы полимеров) зависит от режима их течения – давления, градиента скорости. Это объясняется тем, что структурные элементы жидкости (белковые молекулы, дисперсные частицы) располагаются в потоке по-разному при разных скоростях. Такие жидкости называют неньютоновскими. Кровь (суспензия клеток крови в белковом растворе – плазме) также относится к неньютоновским жидкостям.

При течении жидкости по трубке, стенки которой смачиваются ею, можно считать, что слой жидкости, непосредственно прилегающий к внутренней поверхности трубки, прилипает к ней и остается неподвижным. Более удаленные от стенок слои скользят вдоль соседних слоев, и скорость движения жидкости возрастает по мере удаления от стенок. С наибольшей скоростью движутся частицы жидкости, находящиеся на оси трубки.

Рассмотрим стационарный поток жидкости, ламинарно текущей слева направо через трубку круглого сечения, радиус которой (рисунок 7.1).

Мысленно выделим в жидкости цилиндр радиуса и длины , ось которого совпадает с осью трубки. Обозначим давление на его торцах через и . В стационарных условиях результирующая сил давления на основания цилиндра уравновешивается силой вязкого трения, действующей на боковую поверхность цилиндра со стороны наружных слоев жидкости. По закону вязкого трения эта сила равна:

, (7.2)

где – площадь боковой поверхности цилиндра,

h – динамическая вязкость жидкости,

– градиент скорости.

Рисунок 7.1

Заменяя через площадь боковой поверхности и приравнивая нулю сумму сил, действующих на цилиндр, можно записать:

. (7.3)

Откуда выразим :

. (7.4)

Знак “–” в формуле (7.4) свидетельствует о том, что с увеличением расстояния от оси трубки скорости частиц жидкости уменьшаются ( >0, <0).

Интегрируя (7.4), получим функцию :

, (7.5)

где С – константа интегрирования, которая может быть найдена из граничных условий. Чтобы найти ее заметим, что скорость жидкости обращается в нуль на внутренней поверхности трубки, где жидкость “прилипает” к стенкам, т.е. при

(7.6)

откуда

. (7.7)

Таким образом, зависимость скорости частиц жидкости от расстояния до оси трубки имеет вид:

(7.8)

Рисунок 7.2

Как следует из полученной функции (7.8), скорость жидкости квадратично меняется с радиусом и максимальна на оси трубки при =0 (рисунок 7.2 ). Максимальная скорость частиц жидкости равна:

. (7.9)

Объем жидкости, протекающей через кольцевое поперечное сечение трубки радиуса с величиной зазора dr (рисунок 7.3) за промежуток времени равен:

, (7.10)

а за единицу времени

. (7.11)

Рисунок 7.3

Объем жидкости, протекающей за единицу времени через все поперечное сечение трубки, можно получить, проинтегрировав последнее выражение от нуля до радиуса трубки R:

. (7.12)

Подставив функцию (7.8) в (7.12), получим:

, (7.13)

откуда

, (7.14)

где Q – объемная скорость истечения жидкости или газа.

Полученное выражение носит название формулы Пуазейля. Единица измерения объемной скорости истечения в СИ – метр кубический на секунду (м³/с).

Прежде чем применять формулу Пуазейля к конкретным расчетам, всегда следует убедиться в том, что течение жидкости является ламинарным.

В реальной жизни мы редко встречаемся с ламинарным течением. Движение воды в водопроводе и в реке, движение воздуха в атмосфере практически всегда оказывается турбулентным. Разделить эти два режима можно, исследуя зависимость объемной скорости истечения от давления. При ламинарном течении объемная скорость пропорциональна разности давлений на концах трубки:

~ , (7.15)

а при турбулентном – корню квадратному из нее:

~ . (7.16)

Характер течения жидкости зависит от числа Рейнольдса Re, которое определяется с помощью формулы:

, (7.17)

где – скорость потока,

– радиус трубки,

– плотность жидкости,

– динамический коэффициент вязкости жидкости.

В гладких трубках круглого сечения течение имеет ламинарный характер, если Re <1000.

Ламинарное движение жидкости при переходе ее из широкого сосуда в капилляр устанавливается не сразу, а после того, как она пройдет расстояние a, зависящее от радиуса трубки и числа Рейнольдса:

. (7.18)

Приборы, служащие для определения вязкости, называются вискозиметрами. В данной работе вязкость жидкости определяется при помощи капиллярного вискозиметра.

Вязкость жидкостей может быть определена абсолютным методом, т.е. путем непосредственного измерения линейных размеров капилляра, объема жидкости и времени ее истечения. Чтобы, пользуясь формулой Пуазейля, определить коэффициент вязкости жидкости , надо иметь возможность с большой точностью измерить все величины, входящие в формулу (7.14), что сделать довольно трудно.

Значительно проще относительный метод. В этом случае вязкость исследуемой жидкости может быть определена путем ее сравнения с известным коэффициентом вязкости другой жидкости. Относительный метод измерения вязкости является более распространенным. В этом случае нужно лишь измерить промежутки времени и протекания через одну и ту же капиллярную трубку строго одинакового объема двух жидкостей с коэффициентами вязкости (известным) и (подлежащим определению).

Вискозиметр Оствальда

Вискозиметр Оствальда – капиллярный вискозиметр (рисунок 7.4) представляет собой U-образную стеклянную трубку, в одно колено которой впаян капилляр 1 с шариком 2 в верхней части. Выше шарика поставлена метка “а”, ниже шарика – метка “b”. Внутренний объем шарика между метками равен .

Другое колено вискозиметра представляет собой широкую трубку 3. Внизу находится резервуар 4, в который через широкую трубку заливают из бюретки определенный объем дистиллированной воды, вязкость которой известна.

С помощью резиновой груши, подсоединенной к широкой трубке вискозиметра, воду из резервуара поднимают по капилляру так, чтобы ее мениск установился несколько выше метки “а” (либо жидкость всасывается через капиллярную трубку). Сняв грушу с трубки и удерживая вискозиметр в вертикальном положении, дают возможность воде свободно протекать через капилляр, наблюдая за понижением уровня жидкости. Когда мениск проходит мимо верхней метки “а”, включают секундомер, и выключают его, когда мениск проходит мимо нижней метки “b”. Таким образом измеряют время , за которое объем эталонной жидкости протекает через капилляр.

Рисунок 7.4.

В капиллярном вискозиметре диаметр капилляра и перепад давления на нем подобраны так, что течение жидкости в капилляре всегда является ламинарным.

Для расчета процесса течения эталонной жидкости через капилляр воспользуемся формулой Пуазейля. Разность давлений на концах капилляра в вискозиметре Оствальда

P₁ – P₂=ρgh, (7.19)

где ρ – плотность жидкости, g– ускорение свободного падения.

С учетом сказанного формула Пуазейля в применении к жидкости, протекающей по капилляру вискозиметра, принимает вид:

, (7.20)

где t – промежуток времени протекания через капилляр вискозиметра исследуемой жидкости, плотность которой , а вязкость .

Для эталонной жидкости:

. (7.21)

Приравнивая друг к другу правые части выражений (7.21) и (7.21), получаем после сокращения:

. (7.22)

Зная коэффициент внутреннего трения h одной жидкости, легко найти коэффициент внутреннего трения h другой жидкости, если известны r , r, а также t , .

. (7.23)

Эта формула является окончательной. Плотность воды при различных температурах приведена в таблице А.1 Приложения А. Значение вязкости дистиллированной воды при комнатной температуре следует взять из таблицы А.2 Приложения А.

Коэффициент вязкости жидкости сильно зависит от температуры, и поэтому необходимо указывать температуру, при которой он был получен.