ИЗМЕРЕНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЙ ПРОВОДНИКОВ МЕТОДОМ МОСТИКОВОЙ СХЕМЫ

Если в рассматриваемом участке цепи отсутствует источник тока, то сторонние силы не действуют, а участок цепи называется однородным. Для однородного участка цепи выполняется закон, экспериментально установленный немецким физиком Омом в 1826 г. Согласно закону Ома для однородного участка цепи, сила тока прямо пропорциональна падению напряжения на проводнике:

. (10.1)

В отсутствие сторонних сил напряжение совпадает с разностью потенциалов , поддерживаемой на концах проводника. Величина называется электрическим сопротивлением проводника. Единицей сопротивления в СИ служит Ом. В соответствии с формулой (10.1) 1 Ом – это сопротивление такого проводника, в котором при напряжении 1 В течет ток силой 1 А.

Величина сопротивления зависит от формы и размеров проводника, а также от свойств материала, из которого он сделан. Для цилиндрического проводника

,

где – длина проводника,

- площадь его поперечного сечения,

– зависящий от свойств материала коэффициент, называемый удельным электрическим сопротивлением, измеряется в СИ в Ом×м (омо-метрах).

Величина удельного сопротивления определяется химической природой вещества и условиями, при которых оно находится (в частности, температурой).

Опыт показывает, что для большинства металлов сопротивление растет с температурой приблизительно по линейному закону:

(10.2)

где и - удельное сопротивление и сопротивление проводника при температуре °С, и - удельное сопротивление и сопротивление проводника при температуре °С, – температурный коэффициент сопротивления, для чистых металлов (при не очень низких температурах) близкий к 1/273 К^-1.

Методы измерения сопротивления.Для определения сопротивлений проводников существуют различные методы. Одним из распространенных методов является измерение сопротивлений с помощью вольтметра и амперметра. В этом методе сопротивление проводника определяют по закону Ома для участка цепи :

, (10.3)

где U – разность потенциалов на концах проводника,

I – сила тока в проводнике.

Сила тока измеряется амперметром, который присоединяется последовательно с неизвестным сопротивлением R_x, а разность потенциалов – вольтметром V, включенным параллельно измеряемому сопротивлению (рисунок 10.1).

Рисунок 10.1 – Схема для определения сопротивления,
если R_V >> R_x

При включении вольтметра в цепь часть тока протекает через вольтметр, и амперметр покажет не ток, протекающий через сопротивление R_x, а сумму токов, протекающих через R_x и вольтметр V, т.е.

.

Вследствие этого в формулу (10.3) следует подставить не R_x, а общее сопротивление параллельно соединенных ветвей между точками 1 и 2: вольтметра R_V и сопротивления R_x. Это сопротивление равно:

. (10.4)

Из формулы (10.4) видно, что , если R_V >> R_x (сопротивление R_V вольтметра должно быть значительно больше измеряемого сопротивления R_x).

Если это условие не выполняется, то неизвестное сопротивление определяется из соотношения (10.4):

.

Так как , то

. (10.5)

Как следует из формулы (10.5), для определения сопротивления R_x кроме тока I и напряжения U необходимо знать также и сопротивление вольтметра R_V. На некоторых типах вольтметров это сопротивление указано. На многопредельных вольтметрах указывается максимальный ток I_max, протекающий через прибор при отклонении стрелки на всю шкалу. Эта величина является характерной для данного прибора и не зависит от предела измерений. Сопротивление такого прибора находится как отношение:

,

где U₀ – выбранный предел измерения напряжения. На различных пределах измерения сопротивление R_V различно.

Чтобы исключить влияние вольтметра, амперметр А можно включить так, как показано на рисунке 10.2. В этом случае амперметр измеряет ток, протекающий по неизвестному сопротивлению R_x, но тогда вольтметр показывает разность потенциалов не на R_x, а сумму разностей потенциалов на R_x и на амперметре А. В этом случае отношение дает не величину R_x, а общее сопротивление R между точками 1 и 2 схемы, т.е. R = R_x + R_A (R_A – сопротивление амперметра).

Если R_A << R_x, то общее сопротивление . Отношение даёт величину R_x тем точнее, чем сопротивление амперметра R_A меньше измеряемого. В общем случае, когда о величине неизвестного сопротивления сказать ничего нельзя, расчет ведется по формуле:

.

Рисунок 10.2 – Схема для определения сопротивления,

если сравнима с .

Отсюда

. (10.6)

Обычно на амперметре указано или непосредственно его сопротивление R_A или (если прибор многопредельный) величина разности потенциалов U_max между зажимами прибора, соответствующая отклонению стрелки на всю шкалу. В последнем случае сопротивление прибора равно:

,

где I₀ – выбранный предел измерения тока.

На амперметрах с наружными шунтами также бывает указана величина U_max, при делении которой на величину тока, указанного на шунте, получается сопротивление прибора вместе с шунтом.

На практике иногда не учитывают сопротивлений приборов, т.е. отношение принимают за величину неизвестного сопротивления. Систематическая ошибка, которая возникает при этом, зависит от величины измеряемого сопротивления и от сопротивлений применяемых приборов.

Как следует из рассуждений, схемы на рисунках 10.1 и 10.2 неравноценны: при одинаковых приборах схема 10.1 даёт меньшую ошибку при малом неизвестном сопротивлении, схема 10.2 – при большом. Если ошибка незначительна при измерениях токов и разностей потенциалов, то нет надобности учитывать влияние сопротивлений приборов и с достаточной степенью точности можно принять:

. (10.7)

Очень точным и весьма часто применяемым в лабораторной практике методом является метод мостика постоянного тока (мост Уитстона.).

Принципиальная схема мостика приведена на рисунке 10.3. Измеряемое сопротивление R_x и три других переменных сопротивления R₀, R₁ и R₂ соединяются так, что образуется замкнутый четырехугольник АВСD. В одну диагональ четырехугольника включён гальванометр (этот участок и является мостиком), а в другую через ключ К – источник постоянного тока e. При замыкании ключей К и К₁ гальванометр показывает наличие тока I_g в цепи ДС, но можно подобрать такие сопротивления R₁ и R₂, что потенциалы точек С и Д станут равными, тогда ток в цепи гальванометра будет отсутствовать – мост уравновешен (при замыкания ключа К₁ стрелка гальванометра остается на нуле).

Рисунок 10.3 – Мост Уитстона

В этом случае имеют место следующие соотношения:

, , (10.8)

т.е.

(10.9)

и

. (10.10)

Применяя к узлам С и D первое правило Кирхгофа, в случае отсутствия тока через гальванометр будем иметь:

, .

Деля уравнение (10.9) на уравнение (10.10) и произведя сокращение, получим:

. (10.11)

Откуда искомое сопротивление R_x равно:

. (10.12)

Соотношение (10.12) можно получить, используя правила Кирхгофа:

1. Первое правило Кирхгофа – алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю: . Узлом называется точка, в которой сходится более, чем два проводника. Направления токов через элементы цепи выбираются произвольным образом. Ток, текущий к узлу, считается имеющим один знак (например, плюс), текущий от узла – имеющим другой знак (например, минус). Уравнения первого правила Кирхгофа можно написать для каждого из N узлов цепи, но независимыми будет только N-1 уравнение.

2. Второе правило Кирхгофа применяется для замкнутого контура электрической цепи – алгебраическая сумма произведения токов на сопротивления соответствующих участков контура равна алгебраической сумме ЭДС, встречающихся в контуре: . Для выбранного контура выбирается произвольным образом направление обхода и ток на данном участке считается положительным, если его направление совпадает с направлением обхода контура. ЭДС считается положительной, если при данном направлении обхода мы переходим внутри источника тока от отрицательного полюса источника к положительному.

Для данной электрической схемы всего должно быть составлено 6 уравнений (число уравнений определяется числом неизвестных токов). По первому правилу Кирхгофа можно составить три уравнения (4 узла) и три уравнения по второму правилу Кирхгофа,

Применим первое правило Кирхгофа к узлам С и D. Будем считать, что при замкнутом ключе К ток через гальванометр I_g направлен от точки С к точке D. Тогда имеем:

, . (10.13)

По второму правилу Кирхгофа для контуров САDС и ВСDВ (обход против часовой стрелки) получим:

, . (10.14)

При равновесии мостика Уитстона I_g = 0 и соотношения (10.13) и (10.14) примут вид:

, ,

, ,

откуда .

Метод измерения сопротивлений с помощью моста Уитстона является методом сравнения или нулевым методом, так как в этом случае производится непосредственное сравнение сопротивлений, а гальванометр используется в качестве индикатора отсутствия тока (нуль-гальванометр). Поэтому точность измерения определяется только точностью магазинов сопротивлений и чувствительностью гальванометра.

10.3 Порядок выполнения работы и обработка результатов измерения

1. Собрать электрическую цепь, как показано на рисунке 10.3. Вместо сопротивления R_x включить в цепь одну из катушек с неизвестным сопротивлением R_x1, а в качестве источника постоянного тока использовать выпрямитель.

2. По указанию преподавателя выставить значения сопротивлений R₁ и R₂.

3. Изменяя сопротивление магазина R₀, добиться отсутствия тока в цепи гальванометра.

4. Вычислить неизвестное сопротивление R_x1 по формуле (10.12).

5. Те же измерения произвести с другой катушкой, определить её сопротивление R_x2.

6. Включить обе катушки в цепь сначала последовательно, а затем параллельно, и измерить указанным методом сопротивления при последовательном R_{посл,эксп.} и параллельном R_{парал,эксп.} соединении.

Все полученные на опыте и вычисленные результаты занести в таблицу 10.1.

Таблица 10.1

Измеряемое сопротивление	R0, Ом	R1, Ом	R2, Ом	Rx, Ом	DR, Ом
Катушка № 1
Катушка № 2
Катушки № 1 и № 2 включены последовательно
Катушки № 1 и № 2 включены параллельно

7. Пользуясь полученными в п.п. 1 ¸ 5 значениями сопротивлений катушек №1 и №2 по формулам для последовательного и параллельного проводников вычислить теоретические значения сопротивлений R_{посл,теор.} и R_{парал,теор.}

8. Вывести формулы для относительных и абсолютных погрешностей величин R_x1, R_x2, R_{посл,эксп.}, R_{парал,эксп.}, R_{посл,теор.}, R_{парал,теор.} Вычислить эти погрешности. Относительная погрешность магазина сопротивлений Р33 (в процентах) вычисляется по формуле . Здесь R_max – наибольшее значение сопротивления, которое можно выставить на магазине, Ом; R₀ – номинальное значение включенного сопротивления, .

9. Сравнить с учётом погрешности определённые экспериментально и теоретически рассчитанные значения сопротивления при последовательном и параллельном соединении катушек.

10. По данным о диаметре и длине проволоки, из которой намотаны катушки, рассчитать удельное сопротивление материала проволоки. По табличным данным определить металл, из которого изготовлена проволока.