ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАКОНОВ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Основные понятия и закономерности

Вращательным движением тела называется такое движение, при котором все точки движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения.

При вращательном движении тела изменение его кинематических и динамических характеристик зависит от вращающего момента, действующего на тело, и момента инерции тела.

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения являются угловая скорость ω и угловое ускорение ε:

, или , (2.1)

где φ – угловое перемещение тела или угол поворота.

Связь между линейной υ и угловой ω скоростями вращающегося тела и линейным а_τ и угловым ε ускорениями можно установить, если выразить длину дуги окружности, по которой происходит вращение, через угол поворота φ:

S= φ·r

Тогда:

; , (2.2)

; , (2.3)

где r – расстояние от точки до оси вращения (модуль радиуса – вектора точки).

Угловая скорость ω и угловое ускорение ε – векторные величины. Вектор направлен по оси вращения так, что из его конца вращение видно происходящим против часовой стрелки (правый винт, рисунок 2.1,а).

Направление вектора совпадает с направлением вектора , если возрастает, и противоположно, если убывает (рисунок 2.1, б, в).

При вращательном движении тела изменение его кинематических и динамических характеристик от момента инерции тела и действующего на тело вращающего момента.

а б в
Рисунок 2.1

Вращающим моментом или моментом вращающей силы называется векторная величина , равная векторному произведению радиуса-вектора (проводится от центра вращения точки О в точку приложения силы, точку А) на вектор силы (рисунок 2.2 )

а б
Рисунок 2.2

, (2.4)

где – псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к (рисунок 2.2). Векторы , и образуют правую тройку векторов.

Модуль момента силы равен

, (2.5)

где r sinα = l – плечо силы F (рисунок 2.2,б)

l=OC=r sinα – кратчайшее расстояние от оси вращения до прямой, вдоль которой действует сила .

Твердое тело представляет собой совокупность материальных точек массой m_i . Момент сил, действующих на материальную точку, равен

, (2.6)

где – сумма внутренних и внешних сил, действующих на отдельную точку i (рисунок 2.3).

Момент сил, действующих на материальные точки:

(2.7)

Рисунок 2.3

По второму закону Ньютона , где – линейное ускорение материальной точки, связанное с угловым ускорением соотношением:

, (2.8)

следовательно, , а момент силы равен

, (2.9)

где – момент инерции материальной точки равен произведению массы точки m_i на квадрат расстояния r_i от оси вращения в точке О до точки А.

Соотношение (2.7) можно записать в виде:

, (2.10)

где – вращающий момент внутренних сил равен нулю (по третьему закону Ньютона).

Поэтому момент внешних сил, действующих на тело, – вращающий момент

, (2.11)

Следовательно, учитывая соотношения (2.9) и (2.11), имеем

, (2.12)

где – момент инерции твердого тела относительно данной оси вращения.

Момент внешних сил, действующих на тело, равен произведению момента инерции тела на угловое ускорение

. (2.13)

Полученное соотношение (2.13) – основной закон динамики вращательного движения.

Из закона динамики вращательного движения следует, что момент силы и угловое ускорение совпадают по направлению.

Для тела плотностью ρ момент инерции вычисляется суммированием моментов инерции всех его материальных точек:

, (2.14)

где – бесконечно малая масса тела.

Момент инерции является физической величиной, характеризующей инертность тела при вращательном движении под действием вращающего момента (аналогично массе тела при поступательном движении, но m = const).

Момент инерции тела зависит от формы тела, его размеров и расположения тела относительно оси вращения.

Момент инерции тела относительно произвольной оси вращения определяется по теореме Штейнера. Момент инерции тела I относительно произвольной оси вращения ОО равен сумме момента инерции тела I₀ относительно оси О^/О^/, проходящей через центр массы тела параллельно оси ОО, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между параллельными осями (рисунок 2.4).

(2.15)

Рисунок 2.4