Энергетические состояния квантовой системы. Населенности квантовых уровней

Важнейшим свойством квантовых систем (ансамбль атомов, молекул) является то, что их внутренняя энергия может принимать только дискретные значения E₁,E₂,..E_nу определяемые решениями соответствующих уравнений Шредингера. Совокупность возможных для данной квантовой системы энергетических уровней называется энергетическим спектром. На диаграмме энергетических уровней энергию выражают в Джоулях, обратных сантиметрах или электрон-вольтах. Состояние с наименьшей энергией, являющееся наиболее устойчивым, называют основным. Все другие состояния, которым соответствует большая энергия, называются возбужденными.

В общем случае можно представить, что несколько различных возбужденных состояний характеризуются одним и тем же значением внутренней энергии. В этом случае говорят, что состояния вырождены, а степень вырождения (или статистический вес уровня g_i.) равна числу состояний.

Рассмотрим макросистему, состоящую из N₀ тождественных слабовзаимодействующих микросистем (атомов), обладающих определенным спектром энергетических уровней. Такой макросистемой является ак­тивная среда лазера.

Число атомов в единице объема, находящихся на данном энергетическом уровне i, называется населенностью этого уровня N_i. Распределение населенностей по уровням в условиях термодинамического равновесия подчиняется статистике Больцмана:

(1.11)

где Т – абсолютная температура, k – постоянная Больцмана, g_i – кратность вырождения уровня, , где Е_i-энергия i–го квантового уровня. Из (1.11) следует, что , т.е. сумма населенностей всех энергетических уровней равна количеству частиц N₀ в рассматриваемом ансамбле.

В соответствии с (1.11) в основном состоянии с энергией Е₁ при термодинамическом равновесии находится наибольшее количество атомов, а населенности верхних уровней уменьшаются с ростом энергии уровня (рис.1.1). Отношение населенностей двух уровней в равновесном состоянии дается формулой: (1.12)

Для простых невырожденных уровней g₁= g₂=1 и формула (1.12) принимает вид: (1.12а)

Рис.1.1 Распределение населенностей энергетических уровней в условиях термодинамического равновесия.

Мгновенный, скачкообразный переход с уровня Е_i на уровень Е_j называется квантовым переходом. При Е_i > Е_j квантовая система отдает энергию, равную (E_i-E_j), а при Е_i < Е_j - поглощает ее. Квантовый переход с испусканием или поглощением фотона называется оптическим. Энергия испущенного (поглощенного) фотона определяется соотношением Бора:

hn_ij= Е_i - Е_j (1.13)

1.3 Элементарные процессы взаимодействия
оптического излучения с веществом

Рассмотрим более подробно квантовые переходы, которые могут происходить между двумя произвольно выбранными энергетическими уровнями, например 1 и 2 (рис.1.2), которым соответствует энергии E₁ и E₂­ и населенности N₁ и N₂.

N2

а) б) в)

N2

N2

E2

E2

E2

Рис. 1.2. Квантовые переходы в двухуровневой системе.

Возможны три типа оптических переходов: спонтанные,вынужденные с поглощениемивынужденные с излучением.

Введем для этих вероятностных процессов количественные характеристики, как это впервые было сделано А. Эйнштейном.