Доплеровское уширение
В газах движение излучающих молекул относительно наблюдателя приводит к уширению линии за счет эффекта Доплера. Если скорость молекул равна u, то частота излучения, регистрируемая наблюдателем, рассчитывается по формуле: (1.33)
где с - скорость света, n0 - истинная частота атомного перехода (u<<c), а выбор знака зависит от того, в какую сторону движется молекула.
В газе атомы движутся с беспорядочно направленными скоростями, зависящими от температуры Т и распределенными в соответствии с законом Максвелла: , (1.34)
где - средняя тепловая скорость атомов с массой m, k - постоянная Больцмана.
Распределение частиц в газе по скоростям в результате эффекта Доплера определяет частотное распределение в излучении атомов, т.е. можно написать (1.35)
где g(n) функция формы линии излучения.
Из (1.33) и (1.35) получаем g(n)=(c/n0)p(u). Подставив вместо формулу (1.34), имеем: , (1.36)
где DnТ=n0u0/с - доплеровский сдвиг частоты для частиц со средней тепловой скоростью. Формула (1.36) соответствует гауссовой форме линии излучения (что в формуле отмечено индексом «Г»).
Из условия определяется ширина линии излучения: (1.37)
Проведем сравнение линий излучения гауссовой и лоренцевой форм при их одинаковой ширине. Считая ∆νл=∆νГ. из (1.31) находим максимальное значение функции (1.38)
Аналогично из (1.36) . Подставив вместо его значение из формулы (1.37), получим: (1.39)
На рис.1.5 построены графики лоренцевой и гауссовой линии излучения, приведенные к одинаковой ширине.
Рис.1.5. Графики гауссовой (а) и лоренцевой (б) линий излучения при ∆νл=∆νГ. |
Как видно из графика при одинаковых ширинах гауссова кривая заострена сильнее лоренцевой
1.5 Коэффициенты Эйнштейна.
Термодинамическое рассмотрение
Рассмотрим связь между коэффициентами А21, В12 и В21 используя термодинамический поход Эйнштейна. Предположим, что рассматриваемая среда помещена в полость (абсолютно черное тело) объемом V, стенки которой поддерживаются при температуре Т (термостат). Как только система достигает термодинамического равновесия, в ней установится излучение, спектральная объемная плотность которого определяется формулой Планка:
(1.40)
где множитель определяет число типов колебаний в единице объема излучающей полости, а величина дает среднюю энергию, приходящуюся на один тип колебаний.
Предположим, что квантовый ансамбль, находящийся в полости, является двухуровневой системой (рис.1.6). В такой квантовой системе, наряду со спонтанным излучением, будут происходить процессы вынужденного излучения и поглощения
Рис.1.6 Схема квантовых переходов в двухуровневой квантовой системе. |
Количество переходов 2→1 в единицу времени составляет величину (А21+ρνВ21)N2, а количество обратных переходов 1→2 равно ρν В12 N1.
Поскольку система в целом пребывает в состоянии термодинамического равновесия, число переходов с уровня 1 на уровень 2 должно уравновешивать число переходов с уровня 2 на уровень 1, т.е.:
(1.41)
Кроме того, согласно статистике Больцмана:
(1.42)
Из этих двух выражений получаем: (1.43)
Эйнштейн далее постулировал, что излучение, испускаемое или поглощаемое атомами при переходах между рассматриваемыми энергетическими состояниями, должно также подчиняться закону излучения Планка (1.40), так как атомы в рассматриваемой полости находятся в тепловом равновесии с окружающей средой.
Для согласования с формулой Планка необходимо выполнение следующих двух условий (при ν=ν21): B12=B21=B (1.44)
(1.45)
Из формулы (1.44) следует, что вероятности поглощения и вынужденного излучения, связанные с излучением абсолютного черного тела, равны друг другу: W12=W21 (1.44a)
Соотношение (1.45) позволяет вычислить коэффициент А21, если известен коэффициент В вынужденного излучения в поле излучения черного тела.
Таким образом, полная вероятность излучательных переходов в единицу времени равна:
(1.46)
Из формул W12=s12F, W21 =s21F, такжеследует, что s12=s21 (1.44б)
Таким образом, термодинамическое рассмотрение показывает равновероятность индуцированных излучения и поглощения и устанавливает количественную связь между коэффициентами Эйнштейна.
Квантомеханическое рассмотрение задачи о вычислении вероятности квантового перехода дает следующее значение для W21:
, (1.47)
где - матричный дипольный момент атома.
Сравнивая (1.47) с формулой Эйнштейна для вероятности перехода W21=rnB21 получим формулу, связывающую коэффициенты Эйнштейна с атомными характеристиками квантового ансамбля: (1.48)
Дата добавления: 2016-11-26; просмотров: 3087;