Касательная плоскость и нормаль к поверхности


 

Пусть функция дифференцируема в некоторой области D, точка .

x
y
z
x0
y0
M0
O
b
a
Рисунок 1
 
 

Пересечем поверхность S, изображающую функцию. плоскостями Плоскости пресекают поверхность S по линиям и к каждой из которых в силу дифференцируемости функции в точке можно провести касательные l1 и l2 (рис. 1)

Прямые l1 и l2 определяют плоскость которая называется касательной плоскостью к поверхности S в точке М.

Получим уравнение этой плоскости. Так как плоскость проходит черед точку будем искать ее уравнение в виде Преобразуем данное уравнение к виду

Найдем коэффициент А1. Касательная l2 лежит в плоскости , следовательно, координаты точек касательной удовлетворяют уравнению плоскости, поэтому имеет место система уравнений . Решая систему. получим

Аналогично получим

Подставим полученные выражения в уравнение касательной плоскости, тогда уравнение примет следующий вид:

(6).

Прямая, проходящая через точку и перпендикулярная касательной плоскости, построенной к этой поверхности, называется нормалью.

Уравнение нормали можно получить в каноническом виде, используя условие перпендикулярности прямой и плоскости (направляющий вектор прямой будет нормальным вектором для плоскости). Тогда уравнение нормали:

(7)

Пример. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке

Решение. Найдем частные производные функции, их значения в точке М и воспользуемся уравнениями (6) и (7).

 



Дата добавления: 2021-02-19; просмотров: 448;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.007 сек.