Производная по направлению. Градиент функции

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , l – некоторое направление, задаваемое единичным вектором , где - направляющие косинусы вектора .

При перемещении в данном направлении l точки в точку функция получит приращение называемое приращением функции в направлении l .

Опр. 1. Производной функции по направлению l называется предел отношения приращения функции в этом направлении к величине перемещения при стремлении последней к нулю, т.е. .

Производная характеризует скорость изменения функции в направлении l. Рассмотренные ранее частные производные и представляют собой производные по направлениям, параллельным соответственно осям Ох и Оу.

Примем без доказательства формулу для нахождения производно по направлению (5).

При вычислении производной по направлению полезны формулы

.

Пример1. Вычислить производную функции в точке по направлению вектора где

Решение. Найдем координаты вектора и его направляющие косинусы.

Находим частные производные функции их значения в точке М(1; 2)

Применяем формулу (5)

Опр. 2. Градиентом функции называется вектор с координатами .

Обозначают вектор градиента одним из следующих способов .

Рассмотрим физический смысл вектора градиента. Найдем скалярное произведение вектора и единичного вектора направления l .

Получим: Сравнив полученное равенство с равенством (5) получим, что Известно, что скалярное произведение двух векторов максимально, если они одинаково направлены. Следовательно, градиент функции в данной точке характеризует направление максимальной скорости изменения функции в этой точке. Таким образом, из всех направлений на плоскости в данной точке в направлении вектора градиента функция растет быстрее всего и имеет место формула

Пример 2. Найти градиент функции , его модуль и производную в направлении градиента в точке М(0; -1).

Решение. Находим частные производные функции и их значения в точке М.

Тогда градиент функции равен .