Если функция спроса имеет вид

,

или при неравных между собой α_i,

то спрос на i-ый товар не зависит от цены на j – ый товар.

Перекрестные функции спроса от цен характеризуют такие свойства товаров, как взаимозаменяемость и взаимодополняемость.

1) Если при росте цены на товар i, при снижении спроса на i – ый товар, растет спрос на j – ый товар – эти товары взаимозаменяемы.

2) Если спрос на j – ый товар – также падает, как и на i – ый товар – эти товары взаимодополняемы.

Реальная взаимозаменяемость может искажаться общим снижением благосостояния при росте цены i – го блага; j – благо может заменять i - е

в потреблении, но спрос на него, может, не расти, поскольку снизилось общее благосостояние потребителя.

Для снятия этого искажения используют понятие компенсированного изменения цены, которое сопровождается увеличением дохода потребителя, позволяющем ему поддерживать прежний уровень благосостояния.

х₂ старая бюджетная линия

новая бюджетная линия

С

компенсационная бюджетная линия

B

A

2 3 l₂ 1 l₁

O x₁

Рис. 3.Компенсирование изменения цены

Пусть цена первого блага повысилась с Р¹₁ до Р²₁, тогда бюджетная прямая из положения 1 перейдет в положение 2.

Точка А на линии безразличия l₁, касающейся старого бюджетного ограничения, будет заменена новой точкой оптимизма B, где новая линия безразличия l₂ касается новой бюджетной прямой. Если собираемся компенсировать потребителю потерю благосостояния, то увеличим доход так, чтобы компенсированная бюджетная прямая 3 (параллельная 2) коснулась в некоторой точке С линии безразличия l₁.

Направленный отрезок АС показывает «эффект замены» при росте цены, то есть изменение структуры спроса при условии поддержания прежнего уровня благосостояния. Направленный отрезок ВС отражает «эффект дохода», то есть изменение потребительского спроса при сохранении соотношения цен благ и изменении уровня дохода.

Общий результат роста цены (при отсутствии компенсации) выражается направленным отрезком АВ.

Рассмотрим две задачи, для формального анализа компенсационных эффектов.

Задача 1.

Пусть целевая функция потребителя (ЦФП) зависит от двух благ, х₁ и х₂ следующим образом:

U (x₁, x₂) = x₁* x₂ → max,

Пусть цены благ равны, соответственно p₁ = 10, p₂ = 2, а доход потребителя I = 60, тогда согласно

U= 45.

Пусть Р₂ меняется с 2 до 7, каков необходимый размер компенсации?

Чтобы приобрести прежний оптимальный набор, потребителю необходимо дополнительно (7 – 2) × 15 = 75 денежных единиц. Однако прежняя структура потребления не будет оптимальной при новых ценах, и минимальная необходимая компенсация будет меньше, чем 75.

Пусть потребитель получает дополнительно количество денег М.

Тогда при новых ценах его спрос на первое и второе блага будет равен:

Целевая функция M≈ 52,25 < 75.

Задача 2.

Решим задачу 1 в общем виде.

Пусть U (x₁,x₂) = x₁ * x₂ → max

Пусть p₁ выросла в z раз (z > 1), и при этом потребитель получает необходимую компенсацию. Новый размер дохода обозначим через Ī, спрос .

Очевидно,

и условие компенсации

откуда

Спрос на первый товар в случае с компенсацией сократится в раз, а не в z раз, как без нее.

Спрос на второй товар в раз вырастет.

В случае роста цены второго товара ситуация будет полностью симметричной.

Таким образом,

при i = 1, j = 2 или i =2, j = 1.

Индекс comp – означает, что перекрестная частная производная спроса рассчитывается при необходимой для поддержания прежнего уровня благосостояния компенсации дохода.

Условия компенсации снимает «эффект дохода», оставляя лишь «эффект замены», что позволяет более точно определить понятие взаимозаменяемости и взаимодополняемости благ и оценить их характеристики.

Блага i и j называются взаимозаменяемыми если

и

Эти два условия равносильны и взаимозаменяемые, если

и

Рассчитаем эти частные производные для рассматриваемой задачи, когда p₁ растет в z раз.

Приращение Δx₂ = ∆p₁=zp₁-p₂,

при z→1,

при z→1.

Последняя величина положительна, что свидетельствует о взаимозаменяемости благ в рассматриваемой задаче.

Уравнение Слуцкого

Одним из основных в теории потребительского выбора является уравнение Слуцкого.

Это уравнение позволяет увязать действие эффекта дохода с результирующим изменением спроса.

Поясним:

Первое слагаемое в правой части описывает действие эффекта замены, второе слагаемое – действие эффекта дохода, выраженное в тех же единицах измерения, т.к. множитель x_j приводит их к одной размерности.

Слева записано результирующее воздействие на спрос, складывающееся из изменения структуры спроса и общего его изменения при изменении уровня реального дохода.

В этом случае, согласно уравнения Слуцкого,

а) если спрос растет, то он растет больше при наличие компенсации;

б) если спрос падает – то в меньшей степени.

Может оказаться и так, что

но

т.е. товары i и j взаимозаменяемы, но представляются взаимодополняемыми без учета компенсации.

Из свойств полезности потребителя 1´ и 2´ вытекает, что

на графике это обусловлено выпуклостью линий уровня функции полезности.

Если в таком случае, вдруг оказывается, что

,

спрос на товар растет при росте цены – такие товары называют товарами Гиффена. Отсюда вытекает, что

,

то есть это обязательно малоценный (худший) товар.

Выпишем и проверим уравнение Слуцкого для рассмотренной ранее задачи потребительского выбора с функцией полезности

U(x₁, x₂) = x₁ * x₂→max

Ранее было получено

,

Отсюда

, и

Итак, в обоих случаях уравнения Слуцкого (при i = j и при ij) здесь выполнены.

Рассмотрим эластичности функции спроса.

Эластичность спроса по цене равна

.

Эластичность спроса по доходу равна

.

Для функции

эластичность e_ii = - 1; e_ij = 0 (ij); e_iI = 1.

Если в функции спроса x_i = x_i(р₁, р₂, … , р_n, I) все цены и доход увеличить в одно и то же количество раз λ, то спрос x_i не изменится, т.е.

x_i(λр, λI) = λ⁰x_i(p_,I) = x_i(p_,I), т.е. функция спроса является однородной нулевой степени.

Согласно уравнению Эйлера

Разделив которое на x_i, получим + e_iI = 0, то есть нулю должна равняться сумма всех эластичностей спроса по ценам и доходу.