Общее решение графо-аналитическим способом.

Рис. 9.

Из графика рис. 9 видно, что с ростом Н величина μ=B/H сначала остается высокой, а затем начинает быстро уменьшаться и, начиная с некоторого Н_нас, магнитная индукция становится независимой от Н.

В соответствии с общепринятыми приемами аппроксимации зависимость В(Н) может быть представлена в виде

С учетом B=μμ₀H можно записать

Для изучения особенностей прохождения переменного тока через катушку с ферромагнитным сердечником, воспользуемся известным выражением для индуктивности катушки с током (соленоида) с ферромагнитным сердечником, проницаемость которого равна μ, т.е.

L= μ μ₀ n² V,

где n- число витков соленоида на единицу длины, V- его объем.

С некоторым поправочным коэффициентом это выражение может применяться для оценки индуктивности катушки любой формы.

В ферромагнетике μ есть функция Н, а поскольку Н~I, μ есть функция I. Используя вышеуказанные выражения, получим

(1)

Из этого выражения видно, что индуктивность является нелинейным элементом, т.к. L=L(I).

Рассмотрим установившийся режим в цепи, показанной на рис.1в(§3.2).

Согласно правилу Кирхгоффа для неразветвленной цепи, т.е. сумма падений напряжений на элементах цепи равна алгебраической сумме ЭДС, встречающихся в этой цепи:

I(R+iωL)=E_me^iωt

Используя (1) для L запишем это соотношение в виде:

Аналитическое решение этой задачи весьма сложно. Можно упростить задачу, если пренебречь активным сопротивлением катушки R и потерями на вихревые токи в её сердечнике. Воспользуемся графиком зависимости между потоком Ψ вектора магнитной индукции, создаваемой катушкой и током I в обмотке катушки. В установившемся режиме этот график подобен петле гистерезиса вследствие пропорциональности между H и I, B и Ψ.

Для ряда точек по оси ординат графика Ψ(е), пользуясь графиком Ψ=F(I), определим соответствующие значения тока и по точкам строим кривую тока.

Опуская переходный режим, попробуем определить форму кривой тока в катушке при синусоидальном питающем напряжении. В простейшем случае можно пренебречь активным сопротивлением обмотки катушки и вихревыми токами в ее сердечнике.

Известна зависимость между током i в витке, охватывающем сердечник, и величиной магнитной индукции (Рис. 2).

В случае катушки с числом витков N вместо индукции вводится параметр потокосцепления Ψ:

Ψ=B*N.

Рассмотрим совмещенный график.

На левом графике – реальная петля гистерезиса. Если к зажимам катушки приложено напряжение U=U_m*coswt, при сделанных предположениях оно уравновешивается Э.Д.С. самоиндукции (U_c=dΨ/dt). В установившемся режиме Ψ будет синусоидальной функцией времени: Ψ=(U_m/w)*sinwt.

На правом графике – это кривая, помеченная знаком Ψ. Для последовательного ряда точек этой синусоиды нетрудно по левому графику определить соответствующие величины тока i и нанести их на правый график в нужные моменты времени. В результате получится искомая кривая тока i(t).

Из рассмотрения этой кривой видно, что она несимметрична относительно оси ординат и что момент прохождения потокосцепления через нуль отстает от момента прохождения тока через нуль, в то время как максимума потокосцепление и ток достигают в один момент времени. Также можно убедиться, что кривая потокосцепления отстает от основной волны тока на некоторый угол (основная волна тока показана пунктиром). Этот угол называют гистерезисным углом.

Анализируя форму кривых тока, получающихся при различных значениях максимальной индукции B_m, можно убедится, что с увеличением B_m искажение кривой тока и коэффициент амплитуды этой кривой сначала возрастают, затем в некотором интервале изменения B_m остаются практически неизменными и при весьма больших значениях B_m, которые обычно не достигаются на практике, вновь должны уменьшаться. Последнее ясно, так как при весьма больших B_m при увеличении B_m величина µ, убывая, стремится к µ₀.

В кривой тока наиболее резко выражена третья гармоника.

Заметим, что действующее значение тока в обмотке катушки иногда находят , разделив на амплитуду тока, которую, в свою очередь, определяют при помощи кривой намагничивания по амплитуде потока. Так как при наличии гистерезиса коэффициент амплитуды кривой тока больше, чем , то такой способ расчета приводит к преувеличенным действующим значениям тока.

Если кривая приложенного напряжения несинусоидальна, то кривую потокосцепления можно найти путем интегрирования кривой напряжения.

Иногда встречается обратная задача, а именно требуется найти кривую напряжения на зажимах катушки с ферромагнитным сердечником, если даны кривая тока i, проходящего по ее обмотке, и график зависимости Ψ=F(i) с таким же значением I_m. Пренебрегая влиянием вихревых токов, можно для ряда ординат кривой тока определить при помощи кривой Ψ=F(i) соответствующее значение потокосцепления. Построив по этим значениям кривую потокосцепления и дифференцируя ее, мы найдем искомую кривую напряжения.