Аппроксимация на основе типовых распределений

Задача аппроксимации на основе типовых распределений решается итерационно и включает выполнение трех основных шагов:

предварительного выбора вида закона распределения;

определения оценок параметров закона распределения;

оценки согласованности закона распределения и ЭД.

Если заданный уровень согласованности достигнут, то задача считается решенной, а если нет, то шаги повторяются снова, начиная с первого шага, на котором выбирается другой вид закона, или начиная со второго – путем некоторого уточнения параметров распределения.

Выбор вида закона распределения осуществляется посредством анализа гистограммы распределения, оценок коэффициентов асимметрии и эксцесса. По степени "похожести" гистограммы и графиков плотностей распределения типовых законов или по "близости" значений оценок коэффициентов и диапазонов их теоретических значений выбираются распределения – кандидаты для последующей оценки параметров. На рис. 3.5, 5.1 – 5.4 представлены графики типовых функций плотностей распределения, часто применяемых в задачах аппроксимации ЭД, а в табл. 5.1 приведены функции плотности и теоретические параметры этих распределений.

Рис 5.1. Логарифмически нормальное распределение

а) m = 0; б) s = 1

Рис. 5.2. Экспоненциальное распределение

5.3. Распределение Вейбулла

Рис. 5.4 Гамма-распределение

а) l =1; б) n =3

Следует отметить, что гамма-распределение соответствует распределению Эрланга, если l – целое, и экспоненциальному распределению при n = 1.

После выбора подходящего вида распределения производится оценка его параметров, используя методы максимального правдоподобия, моментов или квантилей. В целях упрощения решения задачи в табл. 5.2 приведены расчетные формулы для вычисления оценок параметров типовых распределений.

Применительно к выбранному закону распределения производится проверка гипотезы о том, что имеющаяся выборка может принадлежать этому закону. Если гипотеза не отвергается, то можно считать, что задача аппроксимации решена. Если гипотеза отвергается, то возможны следующие действия: изменения значений оценок параметров распределения; выбор другого вида закона распределения; продолжение наблюдений и пополнение выборки. Конечно, такой подход не гарантирует нахождение "истинного" или даже подбора подходящего закона распределения.

Таблица 5.1

Преимущество применения типовых законов распределения состоит в их хорошей изученности и возможности получения состоятельных, несмещенных и относительно высоко эффективных оценок параметров. Однако рассмотренные выше типовые законы распределения не обладают необходимым разнообразием форм, поэтому их применение не дает необходимой общности представления случайных величин, которые встречаются при исследовании систем.

Таблица 5.2