Аналитическая аппроксимация и универсальный метод определения расчетных гидрометеорологических характеристик




При выполнении гидрологических расчетов в ходе проектирования мостовых переходов возникает необходимость в интерполяции и экстраполяции зависимостей гидрометеорологических величин, устанавливаемых по натурным данным.

Речь идет об аппроксимации гидрометеорологических зависимостей следующих типов:

1. Кривых связи расходов, уровней, осадков и т.д.

2. Кривых зависимости Н = f(Q), I = f(Н), V = f(Н) и других гидрометрических зависимостей.

3. Кривых вероятностей расходов, уровней, осадков, толщин снега и льда и т.д.

В настоящее время в практике проектирования наибольшее распространение получили графическая и некоторые другие разновидности графоаналитической аппроксимации. Всем им, однако, присущ один общий недостаток - субъективизм ручной аппроксимации, приводящий при одних и тех же исходных данных к неоднозначности решений, нередко выходящих за пределы разумного (например, на мостовом переходе через р. Хопер у ст. Усть-Бузулукская).

Универсальный метод аппроксимации гидрометеорологических величин, основанный на использовании метода «наименьших квадратов», состоит в следующем.

Для зависимостей 1-го и 2-го типов предполагается обязательное установление наличия либо отсутствия связи двух величин (X и Y) путем вычисления коэффициента корреляции. При положительном результате определяются аппроксимирующие функции и вычисляются значения Y = f(X) и X = f(Y) по заданию пользователя.

Особенностью вычисления кривых вероятности (зависимости 3-го типа) является то, что в качестве характеристик натурных точек задают только их ординаты (максимальные расходы, уровни, осадки, толщины снега или льда и т.д.), обычно в наблюденной последовательности. В процессе счета значения величин ранжируются в убывающем порядке. Для каждого члена ряда вычисляется его эмпирическая вероятность превышения по формуле (16.1) и строится аппроксимирующая зависимость Y = f(Рэ%) в масштабе клетчатки нормального распределения. Методика аналитической аппроксимации была разработана Г.А. Федотовым и Г.Г. Наумовым в 1984 году и реализована в виде программы «Гима-2» для компьютеров типа ЕС (Федотов Г.А., Наумов Г.Г. Применение программы Гима-2 при аналитической аппроксимации гидрометеорологических зависимостей. - М.: МАДИ, 1985. - 39 с), а затем в виде программы «Gist» для современных персональных компьютеров.

Неравномерная шкала по оси абсцисс строится по кривой гамма-распределения при Cv = 0 и Cs = 0 и эмпирическая вероятность превышения каждого члена ряда вводится в масштабе клетчатки нормального распределения (табл. 32.1).

Таблица 32.1.

Координаты клетчатки нормального распределения

Вероятность превышения, % Расстояния от оси X, мм Вероятность превышения, % Расстояния от оси X, мм
0,01 75,0
0,02 3,3 80,5
0,05 9,5 86,0
0.1 14,0 91,8
0.2 18,7 98,6
0,33 21,8 103,0
0,5 25,1 108,1
30,5 110,7
36,3 113,9
39,9 116,0
42,8 124,7
45,1 130,5
52,9 99,5 135,9
62,4 99,9 147,0
69,2    

Указанная методика, реализованная в виде компьютерной программы «Gist» (Программа «Gist» разработана С.Э. Шпаком), позволяет решать следующие практические задачи:

1. Вычисление коэффициента корреляции для установления наличия (или отсутствия) корреляционной связи Y = f(X):

где

Хi, Yi - значения координат натурных точек;

X0, Y0 - средние арифметические значения рядов чисел X и Y.

Вычисленное значение коэффициента корреляции rXY сравнивается с минимально допустимым значением rmin = 0,6 и при выполнении условия rXY ³ rmin выполняются дальнейшие расчеты.

2. Ранжирование членов статистического ряда в убывающем порядке и вычисление эмпирической вероятности превышения элементов ряда:

где

т - порядковый номер члена ранжированного ряда;

п - общее число членов ряда;

- эмпирический параметр С.М. Бликштейна.

3. Определение коэффициентов аппроксимирующей функции методом «наименьших квадратов»:

У = f(X) = В0 + В1Х + В2Х2 + В3Х3 +...+ ВkХk, где ( 32.1)

В0, В1, ..., Вk - постоянные коэффициенты, подлежащие определению;

k - порядок аппроксимирующей функции (k = 1-5).

Основное положение метода «наименьших квадратов» состоит том, что сумма квадратов отклонений исходных величин от аппроксимирующей функции должна быть минимальной:

где

- значение искомой величины, полученное по аппроксимирующей зависимости и фактическое значение исходной величины.

Подставляя в выражение (32.1) все экспериментальные значения исходных точек (Xi, Yi), получим систему из п начальных уравнений:

(32.2)

Если уравнение (32.2) записать в развернутом виде, то получим:

(32.3)

Переменными величинами в этом выражении являются коэффициенты В0, В1, ..., Вk и для них отыскиваются такие значения, при которых выражение (32.3) имеет наименьшую величину. Если для этой цели воспользоваться общим приемом дифференциального исчисления и найти частные производные выражения (32.3) по всем искомым коэффициентам В, приравняв их нулю, окончательно получим:

(32.4)

Система (32.4), состоящая из (k+1) линейных уравнений с (k+1) неизвестными коэффициентами В, решается одним из известных способов линейной алгебры (в программе «Gist» реализован «метод исключения Гаусса»). В результате этого решения определяются все (k+1) неизвестных коэффициента В аппроксимирующего уравнения (32.1).

На (рис. 32.1) представлены результаты статистической обработки по программе «Gist» максимальных уровней за 107-летний период наблюдений на р. Иртыш (водомерный пост г. Ханты-Мансийск).

Рис. 32.1. Кривая вероятностей максимальных уровней на р. Иртыш (в/п г. Ханты-Мансийск)

4. Определение среднеквадратического отклонения вычисленных ординат от ординат натурных точек и коэффициента детерминации.

5. Вычисление значений Y при Хmin £ Х £ Хmax с заданным шагом DХ.

6. Вывод на экран монитора или на принтер графика функции Y = f(X) при Хmin £ Х £ Хmax.

7. Вычисление значений X при заданных значениях Y.

8. Вычисление значений Y при заданных значениях X.

9. Вычисление значений гидрометеорологических величин следующих вероятностей превышения Р(%): 0,1; 0,33; 1; 2; 3; 5; 10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 85; 90; 95; 98; 99; 99,5; 99,9.

10. То же для усеченных кривых при (выше средней отметки поймы) Р(%): 0,1; 0,33; 1; 2; 3; 5; 10; 20; 30; 40; 50.

Результаты расчета выводятся на экран монитора, а также в виде таблиц и графиков на принтере (см. рис. 32.1).






Дата добавления: 2017-03-12; просмотров: 1367; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2022 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.02 сек.