Среднеквадратичное приближение функций полиномами Лежандра.

Многочлены Лежандра определяются следующими формулами

Дифференцирую, находим:

Обобщенный многочлен степени относительно системы алгебраических многочленов Лежандра имеет вид

где – некоторые постоянные.

Система многочленов Лежандра ортогональна на отрезке

Среднеквадратичная форма :

Например:

Наилучшее приближение функции многочленом получается с коэффициентами Фурье:

Среднеквадратичное отклонение аппроксимирующего многочлена от функции , равное , в нашем случае определяется равенством

Из формулы видно, что четны при четном и нечетны при нечетном.

Для четной на интервале функции коэффициенты Фурье равны:

Для нечетной на интервале функции получаем:

Рядом Фурье – Лежандра называется ряд

Ряд Фурье – Лежандра сходится к в среднеквадратичном на отрезке .

Теорема

Ряд Фурье – Лежандра кусочно-гладкой функции на отрезке сходится к значению в точке ( сходится к в точках непрерывности функции).

Если определена на отрезке , то с помощью линейного преобразования

Можно получить многочлены Лежандра, ортогональные на отрезке :

При этом норма будет равна

А коэффициенты примут вид

где

Пример	Найти алгебраический многочлен степени наилучшего среднеквадратического приближения для функции . Оценить погрешность .
Решение	Имеем Используя формулы: Находим: Производя замену переменной по формуле , получим: Коэффициенты Фурье вычисляются по формуле Т.к. – четная, то можно использовать формулу Следовательно Откуда: По формуле находим погрешность среднеквадратического приближения:     y   ,