Модели фильтров, описываемые дифференциальными уравнениями первого и второго порядка
Моделями, описываемыми дифференциальными уравнениями(ДУ) 1-го порядка, например, могут являться RL- и RC-цепи, используемые в качестве фильтров низких и высоких частот.
Схема коммутации RL-цепи на источник постоянного напряжения представлена на рис. 2.28. Процессы, протекающие в цепи при замыкании ключа, описываются дифференциальным уравнением 1-го порядка, составленным по второму закону Кирхгофа:
Схема коммутации RC-цепи на источник постоянного напряжения представлена на рис. 2.29.
Рис. 2.29. Схема коммутации RL- и RC- цепи на источник постоянного напряжения E
Дифференциальное уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа, описывает процессы в цепи после замыкания ключа:
Учитывая, что , то уравнение можно записать в следующем виде:
Как видно из моделей, переменными состояния в RL- и RC-цепях являются ток через катушку индуктивности и напряжение на конденсаторе соответственно.
В качестве моделей, описываемых ДУ 2-го порядка, можно рассмотреть нагруженные RLC-фильтры низких и высоких частот, а также двигатель постоянного тока независимого возбуждения, являющегося основой ЭМС постоянного тока.
Фильтр низких частот.Ненагруженный RLC-фильтр представляет собой последовательно соединенные резистор, катушку индуктивности и конденсатор. В зависимости от того, с какого элемента (индуктивности или емкости) будет сниматься напряжение в качестве выходного, фильтр может пропускать высокие или низкие частоты.
Схема коммутации нагруженного фильтра низких частот (ФНЧ) на источник постоянного напряжения представлена на рис. 2.30.
Рис. 2.30. Схема коммутации ФНЧ 2-го порядка на источник постоянного напряжения E
Составим по второму закону Кирхгофа дифференциальное уравнение, описывающее динамику процессов в ФНЧ 2-го порядка:
Дифференциальное уравнение для цепи по первому закону Кирхгофа –
Учитывая, что , данная СДУ запишется в виде
СДУ в нормальной форме Коши –
В матричном виде
где матрица коэффициентов перед переменными состояния; вектор свободных членов СДУ; вектор переменных состояния.
В ФНЧ 2-го порядка переменными состояния являются ток через индуктивность и напряжение на конденсаторе.
Фильтр высоких частот.Схема коммутации нагруженного фильтра высоких частот (ФВЧ) на источник постоянного напряжения представлена на рис. 2.31.
Рис. 2.31. Схема коммутации нагруженного ФНЧ 2-го порядка на источник постоянного напряжения E
Дифференциальное уравнение, описывающее динамику процессов в ФВЧ 2-го порядка, по второму закону Кирхгофа –
Дифференциальное уравнение для цепи по первому закону Кирхгофа –
.
Учитывая, что , данная СДУ запишется в виде
СДУ в нормальной форме Коши –
В матричном виде
где матрица коэффициентов перед переменными состояния; вектор свободных членов СДУ;
вектор переменных состояний.
Переменные состояния здесь такие же, как и у ФНЧ. Разница математических моделей ФНЧ и ФВЧ состоит в различных векторах свободных членов B.
Дата добавления: 2021-01-26; просмотров: 571;