Математическая индукция

Один из важных методом математического доказательства, который охватывает бесконечное множество случаев, основывается на принципе (аксиоме) индукции.

Теорема о принципе математической индукции. Если некоторое предложение А(п) верно при п = 1 и из предложения, что оно верно при некотором значении п = k, следует, что это предложение верно и при следующем значении п = k+1, то предложение А(п) верно при всех пÎN

Аналогия

Еще одним важным видом умозаключений, используемых в математике, является аналогия.

Определение. Аналогия умозаключение о принадлежности предмет ту определенного признака (т.е. свойства или отношения) на основе сходства в существенных признаках с другими предметами.

Например, мы утверждаем, что формула числа элементов декартова произведения конечных множеств аналогична формуле числа элементов декартова произведения двух множеств.

Точно так же при объяснении правил умножения многозначного числа на однозначное и двухзначное можно пользоваться аналогией при умножении многозначного числа на число единиц и на число десятков, подчеркнув лишь различия в записи.

Аналогия – достаточно эффектный механизм познания, умственный прием, используемый как в научных исследования, так и в обучении. Рассуждения по аналогии имеют следующую общую схему:

А обладает свойствами a, b, g, d;

В обладает свойствами a, b, g,

Возможно, В обладает свойством d.

В последнее время философы относят аналогию не только к категориям логики, но и к категориям психологии. Так, психолог А И. Уемов считает, что проблема аналогии является одной из разновидностей ассоциаций по подобию, но основе которой одна мысль порождает другую. В одних случаях такая ассоциация помогает получить истину, в других – препятствует, т.е. каким будет результат предположить нельзя. Аналогия очень часто большое убеждение, так как ассоциация, которая породили ту или иную мысль у человека, может привести и к возникновению ее в подобных условиях. Однако это убеждение не следует отождествлять с доказательством. Такою есть психологическая концепция аналогии.

Поэтому выводы по аналогии могут оказаться как правильными так и не правильными. Они требуют специального обоснования правильности или не правильности с помощью дедуктивных рассуждений.

Аналогия как логический метод научного познания широко используется в математике и других науках. Не менее важная роль аналогий в обучении математики в школе во время формирования понятий, обучению вычислительным навыкам и решению различных задач.

Использование аналогий во время формирования понятий повышает активизацию умственной деятельности учащихся, так как установив, что новое понятие аналогично изученному раньше, учащийся может предположить совпадение свойств этих понятий. Сравнение аналогичных понятий дает возможность устанавливать одинаковые свойства, а также выявлять свойства, которые совпадают (например, для понятий “числовое равенство” и “числовое неравенство”). Это дает возможность более глубоко усвоить свойства новых понятий, прочно их запомнить и предупредить возможные ошибки. Большие возможности использования аналогий во время формирования основных понятий курса геометрии. Если учитель умело руководить мышлением учащихся, то они самостоятельно устанавливают пары аналогичных понятий: окружность, круг, шар; квадрат и куб; параллелограмм и параллелепипед и т.д.

Формирование умения делать выводы по аналогии следует осуществлять поэтапно. Целесообразно, например, ориентироваться на такие этапы при использовании аналогии в учебном процессе: объяснение принципа действия по данному образцу; закрепление и развитие, полученных на первом этапе умений и навыков; применение данного способа действия к более сложным, но аналогичным заданиям.

Широко используется аналогия в обучении математике младших школьников. Это происходит при изучении свойств объектов, отношений между ними и действий с ними. Приведем несколько примеров:

· Аналогию можно использовать для «открытия» новых свойств изучаемых объектов.

Например, если при изучении классов установлено, что в классе единиц три разряда – единицы, десятки, сотни, а в классе тысяч также три разряда – единицы тысяч, десятки тысяч, сотни тысяч, то вывод о числе разрядов в классе миллионов и их названии дети могут сделать самостоятельно, по аналогии.

· Аналогия может быть использована для установления отношений между данными объектами.

Например, учащиеся установили, что 4´(3+7)>4´3+4´6, так как 4´(3+7)=4´3+4´7>4´6. Рассматривая затем выражения 3´(8+9) и 3´8+3´7, учащиеся могут по аналогии сделать вывод о том, что 3´(8+9)>3´8+3´7. Проверить его правильность можно либо путем рассуждений, аналогичных тем, что проводились при выполнении первого задания, либо при помощи вычислений.

· Аналогия может быть использована и для выводов о способе действия на основе изучения другого способа.

Например, после рассмотрения способа умножения двузначного числа на однозначное на примере умножения 27 на 3 (27´3=(20+7)´3=20´3+7´3=81) детям предлагается умножить 712 на 4. Действуя по аналогии, они устанавливают, что 712´4=(700+10+2)´4=2800+40+8=2848. Далее по аналогии устанавливают, как умножить 6288 на 3.

Следующим шагом может быть обобщение, т. е. получение правила умножения многозначного числа на однозначное.

Вообще аналогия столь часто используется в обучении, что иногда является препятствием к сознательному усвоению знаний и приводит часто к неправильным выводам. Например, решая неравенство х²+х+1>0 и убедившись, что корней соответствующего уравнения нет, ученик утверждает, что решений это неравенство не имеет по аналогии с уравнением х²+х+1=0. Это ошибка, так как решений – бесчисленное множество, а именно, все множество R.

Приведем еще несколько типичных примеров ошибок, совершаемых учениками из-за неправильного применения рассуждений по аналогии.

В начальной школе известно, что действия сложения и умножения переместительны и сочетательны. Некоторые ошибки могут возникнуть из-за переноса этих свойств по аналогии на действия вычитания и деления. Например, 158-18-10=158-(18-10)=158-8=150. Здесь «незаконно» использовалось свойство сочетательности вычитания, которого у вычитания нет.

Если в математике ошибки по аналогии достаточно «безобидны», то в жизни это не так. Съев ягоду, похожую на хорошую, ребенок может отравиться.