Закон достаточного основания и аксиоматический метод в математике

В логике есть закон достаточного основания. Он утверждает, что если есть истинное суждение А, то может быть найдено такое В, из которого оно следует. При этом суждение В называется основанием для суждения А. Этот закон очень важен для математики и методики ее преподавания. Любое суждение в математике, кроме утверждений, принимаемых без доказательств и определений, не считается истинным «просто так» потому, что так кажется тому, кто его делает. Математика — это наука, логически локально упорядоченная Это значит, что любой раздел математики содержит определенные суждения, истинность которых вытекает из истинности других суждений. Эти другие суждения, в свою очередь, вытекают из других и т.д. Спрашивается, а где же исходные суждения? Ведь не может быть так, что эта цепочка следований бесконечна. Конечно, всегда есть начальные утверждения (они называются аксиомами), из которых с помощью логики и математиче­ских суждений следуют другие математические суждения. Все истинные суждения в математике, кроме аксиом и оп­ределений, оказываются, таким образом, доказываемыми. Они называются теоремами.

Приведем пример.

Почему справедлива таблица умножения? Ее правильность - это совокупность аксиом, принимаемых без доказательства, или следствие других утверждений?

Оказывается, все зависит от точки зрения. Если определить 1×2=2, 1×3=3, ..., 9×9=81, 9×10=90, т.е. всю таблицу умножения в пределах 10, то получится список аксиом, который можно выучить наизусть и пользоваться им, например, при умножении столбиком и т.д.

Однако такой подход неинтересен ни с математической, ни с дидактической точки зрения. С дидактической точки зрения этот подход не объясняет, зачем вообще нужно умножение, а с математической он является неэкономным, потому что пришлось ввести слишком много аксиом. Математическая (да, пожалуй, и любая другая) теория старается обойтись минимальным количеством недоказываемых предложений (аксиом).

Поэтому вводят определенные умножения аb как а+а+.-.+а, т.е. как сумму слагаемых а, взятых b раз (b>1).

Таким образом, к моменту изучения умножения в обучении и к моменту построения теории умножения в математике сложениеуже считается изученным, и вопрос о правильности таблицы умножения получает такой ответ. Да, таблица умножения правильна, еслимы правильно складываем натуральные числа, т.е. если правильна таблица сложения.

Заметим, что проблемы обоснования очевидных и давно известных положений занимают в нашем курсе основное место. Это создает довольно большие психологические трудности в изучении материала. Итак, закон достаточного основания для математики играет огромную роль. Все утверждения математики стараются вывести из других утверждений. Те же простейшие утверждения, которые не выводятся из других утверждений, называются аксиомами, а метод построения теории на основе нескольких аксиом называется аксиоматическим методом.