Индуктивные умозаключения. Полная индукция

Индукция (от лат - наведение) – форма мышления, с помощью которой мысль направляется на какое-нибудь общее утверждение, что касается отдельных предметов определенного множества.

Рассмотрим высказывание. При умножении любого натурального числа на 5 последняя цифра в записи произведения 0 или 5.

Как можно прийти к такому выводу? Предположим, что число оканчивается на 0. Тогда произведение оканчивается нулем. Предположим, что число оканчивается единицей, тогда произведение оканчивается на 5 и т.д. до 9. Поскольку других возможностей оканчиваться на какую-либо цифру, кроме 0 и 5, у числа нет, то утверждение доказано.

Такое рассуждение относится к индуктивным умозаключениям. В школьном курсе математики выделяют три вида индукции (индуктивных умозаключений).

Определение. Индуктивное умозаключение - это такое, в результате которого на основании знания об отдельных предметах данного множества (или об отдельных подмножествах данного множества) получается общий вывод, содержащий какое-либо знание обо всех предметах данного множества.

В данном примере в роли этих подмножеств выступают множества чисел, оканчивающихся на одну и ту же цифру. Таких подмножеств всего 10. Все множество - это множество N.

Приведенный пример является примером умозаключения вида полной индукции. Его схема выглядит следующим образом:

S₁ есть Р, S₂ есть Р,..., Sп есть Р.

Все S_1, S_2,..., Sп исчерпывают весь класс S (4)

Все S есть Р

Здесь S₁ - это множество чисел, оканчивающихся 0, S₂ - множество чисел, оканчивающихся 1, и т.д., S₁₀ - множество чисел, оканчивающихся 9. Роль Р играет свойство чисел: «после умножения на 5 оканчивается 0 или 5». Множество всех натуральных чисел N является объединением классов Sо, S₁, S_{2, …}, S₁₀.

Определение.Полная индукция – умозаключение, в правильности которого убеждаются, рассматривая все отдельные случаи (объекты, фигуры, числа), которые составляют конечное множество.

Неполная индукция

Кроме полной индукции, в математике и в методике ее преподавания встречаются рассуждения по неполной индукции.

Иногда математические задачи сформулированы в таком виде, что прежде чем их решать, нужно сначала выделить условие «что дано» и заключение «что требуется установить». К таким задачам относятся суждения вида «все S есть Р». Если требуется установить истинность такого рода суждения, то для этого необходимо проверить, что любой объект вида S является объектом вида Р. Для этого достаточно взять произвольный объект вида S и убедиться в том, что он является объектом вида Р.

Например. Предположим, что вы даете ученику коробку со 100 красными палочками и просите ученика, не глядя в эту коробку, достать, допустим, 10 палочек. Все 10 палочек, естественно, оказались красного цвета. Вы спрашиваете, можно ли утверждать, что все палочки в коробке красного цвета? Правильный ответ на этот вопрос - нет, нельзя. Действительно, пока не проверены все палочки, утверждать о принадлежностиих к типу Р (Р - предметы красного цвета) нельзя.

Не всегда, однако, для того чтобы убедиться в справедливости суждения «все S есть Р», нужно перебирать все объекты типа S. Иногда бывает так, что можно воспользоваться лишь его принадлежностью к объектам вида S, и из этого уже будет следовать принадлежность его к типу Р.

Например. Доказать, что любое число, делящееся на 3, имеет в десятичной записи цифры, сумма которых делится на 3. Нужно ли (да и возможно ли) проверять все числа, делящиеся на 3? Разумеется, нет.

Можно взять произвольное число, делящееся на 3 (объект S), и, не опираясь на конкретный вид этого числа, а используя только его кратностью 3, доказать, что его сумма кратна 3 (является объектом типа Р).

Теперь предположим, что вы предложили рассмотреть ученикам несколько двузначных чисел, делящихся на 3, и подметить какую-нибудь общую особенность у этих чисел. Кто-то допустим, написал 5 таких чисел и заметил, что сумма цифр у каждого из этих чисел делится на 3. После этого естественно выдвинуть общую гипотезу: если число делится на 3, то сумма его цифр тоже делится на 3. Какого рода умозаключение здесь использовалось? Вот его схема.

Некоторые S есть Р

Все S есть Р (5)

Является ли это умозаключение логически строгим? Конечно, нет. Верно ли, что такого типа умозаключениями где нельзя пользоваться? Нет, так как такого типа исключения часто являются источником правильных гипотез, укрепляют веру в истинность утверждений, которые на определенном этапе обучения нельзя обосновать строго.

Умозаключения вида (5) называются рассуждениями по неполной индукции.

Определение.Неполная индукция – рассуждение от отдельного к общему, то есть вывод, который делается на основе изучения свойств отдельных объектов определенной совокупности и распространяется на все ее объекты.