Фундаментальное индуктивное определение

правильно построенной формулы (ППФ)

(1) (Базисный пункт) отдельно стоящая пропозициональная константа есть ППФ;

(2) (базисный пункт) отдельно стоящая пропозициональная переменная есть ППФ;

(3) (индукционный шаг) если t₁,t₂, … t_k – термы, а А^k – k-местная предикатная константа, то A^k(t₁, t₂, …, t_k) – ППФ;

(4) (индукционный шаг) если t₁,t₂, … t_k – термы, а P^k – k-местная предикатная переменная, то P^k(t₁, t₂, …, t_k) – ППФ;

(5) (индукционный шаг) если А и В – ППФ, х - индивидная переменная, А¹ – одноместная предикатная константа, то (ØА), (АÙВ), (АÚВ), (А®В), (А«В), ("_хА), ($_хА), ("_А1_(x)А), ($_А1_(x)А) – ППФ;

(6) (замыкание) ничто иное не является ППФ.

В данном ФИО символ А^k (k=1, 2, …) используется как индивидная метапеременная по k-местным предикатным константам, символ P^k – как индивидная метапеременная по k-местным предикатным переменным, символы t_i (1£ i £ n) используются как индивидные метапеременные по правильно построенным термам языка-объекта, символы А, В – как индивидные метапеременные по ППФ языка-объекта; символ х используется как индивидная метапеременная по индивидным переменным языка-объекта, символы коннекторов и кванторов, скобки и запятые использованы автонимно. Таким образом, согласно фундаментальному индуктивному определению ППФ, результат применения n-местного предикатного символа к n термам записывается в виде линейной последовательности символов, причем предикатный символ ставится на первом месте, а правильно построенные термы указываются вслед за ним в скобках в том порядке, в котором они входят в ППФ, и отделяются друг от друга запятыми. Поскольку в подавляющем большинстве языков логики используются лишь одноместные и двухместные коннекторные символы, результат применения коннекторного символа к ППФ записывается отлично от общего правила. Отличие заключается в том, что:

(1) верхний индекс символа коннектора опускается;

(2) результат применения одноместного коннекторного символа к ППФ содержит символ коннектора перед ППФ, и в скобки берется весь результат применения коннекторного символа к ППФ;

(3) результат применения двухместного (бинарного) коннекторного символа к двум ППФ записывается в виде линейной последовательности символов, причем символ коннектора ставится между ППФ, и весь результат берется в скобки.

В бесскобочной символике Лукасевича (польская система записи) скобки и запятые опускаются.

Пример 2.3.2. Правильно построенными формулами являются выражения:

(1) А; B; C; A₁; p; q; r; p₁;.

(2) A¹(x); A²(a, x); B²(x, y); C²(x, x); A³(f ¹(x), g²(x, y), a);

(3) ("_А1_(x)(В¹(x)));($_А1_(x)(В¹(x)));(Ø (АÙ В)); (АÙ(ВÚ С¹(x)));

(4) (А®В);(А«В);("x(В¹(x)));"x(АÙВ)); $у(A®В¹(x));

(5) (Ø p); (Ø A); (Ø A¹(x));(pÙ q); (AÚ B); (p® A);

(6) (A¹(x)Ù B); (B¹(y)Ú C¹(z)); (B¹(x)® A);(Ø (pÙ q));

(7) ((pÙ q)®r); ((AÚ B)ÙC); ((A¹(x)® B²(x, y))® C);

и т.д.

В символике Лукасевича ППФ выражения строки (2) имеют вид:

A¹x; A²ax; B²xy; C²xx; A³f¹xg²xya;

а выражения строк (5), (6), (7) имеют вид:

Np; NA; NA¹x;Kpq; AAB; CpA;

KA¹xB; AB¹y C¹z; CB¹x A; NKpq;

CKpqr; KAABC; CCA¹x B²xy C.

Правильно построенные формулы представляют в ЯЛФРТ категорию предложений; предикатор может рассматриваться как неполное предложение с именными переменными, то есть с пустыми местами, на которые подставляются имена, а коннектор – как неполное предложение с пропозициональными переменными, то есть с пустыми местами, замещаемыми предложениями. Пропозициональная переменная может рассматриваться как тривиальный одноместный коннектор, переводящий каждое предложение само в себя.

Таким образом, каждая ППФ ЯЛФРТ представляет или предложение, или предикатор, или коннектор.

Поскольку при переводе выражений естественного языка на символический ЯЛФРТ приходится иметь дело с ППФ, содержащими большое число скобок, что затрудняет анализ строения таких ППФ, на практике часто используют сокращенную запись ППФ ЯЛФРТ. В сокращенной записи часть скобок опускается в соответствии с некоторым соглашением о скобках. Чаще всего используется следующее соглашение о скобках: