Язык-объект и метаязык в логике

В логике различают язык-объект (объектный язык) – язык, в котором формализуются выражения естественного языка (для последующего логического анализа), – и метаязык, то есть язык логики, в котором записываются логические характеристики и логические отношения между выражениями языка-объекта. В качестве метаязыка используется или уточненный естественный язык, или формализованный язык логики. Во втором случае для построения выражений языка-объекта мы будем использовать рукописные стандартные символы (или символы, набранные курсивом, как в таблице 2.2), а для выражений метаязыка – те же символы, но набранные печатным шрифтом. Метаязык логики включает в себя три части: (1) язык-синтаксис, в котором описываются правила построения выражений объектного языка, (2) семантический метаязык, в котором описываются правила осмысления и правила интерпретации выражений объектного языка, (3) язык прагматики.

Неразличение объектного языка и метаязыка в традиционной логике приводило к парадоксальным ситуациям. Уже в Древней Греции был сформулирован первый парадокс такого рода – «Лжец». Критянин Эпименид высказал суждение: «Все критяне – лжецы». Истинно или ложно это суждение? Если оно истинно, то, согласно его смыслу, оно ложно, так как высказано критянином (а все суждения, высказанные критянами, ложны, так как все критяне – лжецы). Если же оно ложно, то оно истинно, так как оно утверждает свою ложность. Следовательно, имеется осмысленное высказывание, которому невозможно приписать истинностную оценку, что противоречит закону исключенного третьего; это обстоятельство и обусловливает парадоксальный характер данной ситуации. Поскольку парадокс связан с семантическими характеристиками истинно и ложно, его принято относить к семантическим парадоксам.

Другой пример семантического парадокса приводит польский логик А. Тарский в знаменитой работе «Понятие истины в формализованных языках», изданной в 30-е годы ХХ века. Рассмотрим предложение:

«Предложение, написанное на данной странице, в строках 3–4 снизу, ложно».

Очевидно, предложение в кавычках осмысленно, а значит должно выражать истинное или ложное высказывание (здесь мы истинностную оценку относим к самому предложению в соответствии с основной идеализацией ЯЛФРТ). Однако если оно истинно, то, в соответствии с его смыслом, оно ложно; если же оно ложно, то оно истинно, так как утверждает свою ложность. Следовательно, имеется осмысленное предложение, которому нельзя приписать никакого значения истинности.

Парадоксальные ситуации возникают в обоих случаях потому, что семантическая оценка предложения (истинно или ложно) формулируется в самом этом предложении, составляя его смысл. Устранение парадоксов достигается различением языка-объекта и метаязыка; в таком случае оба парадоксальных предложения просто не могут быть сформулированы в языке логики.

Синтактика ЯЛФРТ

Язык-синтаксис содержит следующие выразительные средства.

(1) Имена атомарных символов языка-объекта; набор таких исходных символов (атомов) называют алфавитом ЯЛФРТ. Как правило, если это не приводит к двусмысленности, в качестве имен атомарных символов языка-объекта используют в метаязыке сами эти символы; в таком случае говорят, что эти символы упоминаются (а не употребляются), или употребляются автонимно.

(2) Обозначения для сложных (составных) выражений (знаковых конструкций); обычно для этой цели служат сами эти знаковые конструкции, то есть они используются в метаязыке автонимно (как имена самих себя), если это не приводит к двусмысленности.

(3) Символы, играющие роль синтаксических метапеременных, то есть именные (предметные, индивидные) символы, замещаемые именами атомов или сложных выражений языка-объекта. В качестве таких метапеременных мы будем использовать стандартные символы именных переменных, набранные печатным шрифтом; например, x, y, z, x₁, … – это пустые места, на которые подставляются именные переменные языка-объекта. В качестве синтаксических метапеременных, замещаемых особыми видами сложных знаковых конструкций, используются также символы таблицы 2.2, набранные печатным шрифтом, и дополнительные символы.

(4) Обозначения для синтаксических предикаторов: « ... есть атомарный символ», « … есть правильно построенный терм (ППТ)», « … есть правильно построенная формула (ППФ)», «… есть последовательность ППФ», « … есть последняя ППФ в последовательности ППФ _*** » и т.д. Синтаксические предикаторы, как правило, записываются словами естественного языка; в специальных случаях используются символы из таблицы 2.2 или другие символы, набранные особым шрифтом.

Синтаксический метаязык конкретного языка логики обычно включает в себя: (1) описание алфавита, то есть набора исходных символов (атомов), и (2) правила образования составных выражений из исходных символов. Алфавит ЯЛФРТ включает в себя в общем случае четыре части: (1) индивидные и/или пропозициональные константы и переменные; (2) функциональные и/или предикатные константы и переменные; (3) логические постоянные; (4) технические знаки (правую и левую скобки, знаки препинания). Осмысленные выражения ЯЛФРТ делятся на два класса: (1) правильно построенные термы (ППТ) и (2) правильно построенные формулы (ППФ).

Понятия ППТ и ППФ вводятся при построении конкретных ЯЛФРТ с помощью так называемых фундаментальных индуктивных определений (ФИО), содержащих в своем составе три вида пунктов: (1) базисные пункты, в которых указываются примеры правильно построенных выражений; (2) шаги индукции (индукционные шаги), указывающие операции, с помощью которых из одних правильно построенных выражений можно получать другие; (3) замыкание индуктивного определения, в котором указываются границы класса правильно построенных выражений. Фундаментальные индуктивные определения записываются в метаязыке с помощью символов метаязыка.