Глава 4. Метод резолюций в логике высказываний.
Метод резолюций – это метод автоматического доказательства теорем – основы логического программирования. Это алгоритм, проверяющий отношение выводимости ├ . В общем случае алгоритм автоматического доказательства теорем не существует, но для формальных теорий с несложной структурой (таких как исчисление высказываний, исчисление предикатов с одним одноместным предикатом) подобные алгоритмы известны.
Вообще говоря, в построенном в главе 3 исчислении высказываний (благодаря полноте исчисления) проверка выводимости формулы состоит в проверке того, является ли формула тавтологией или нет. Это можно легко установить по таблицам истинности. Но этот метод не обеспечивает построения вывода формулы.
Метод резолюций – классический алгоритм автоматического доказательства теорем. Для простоты изложения рассмотрим его для исчисления высказываний. Для любого множества формул и любой формулы метод дает утвердительный ответ, если ├ , и дает отрицательный ответ, если неверно, что ├ .
Теорема о доказательстве от противного. Если , ├ , где – тождественно ложная формула, то ├ .
Доказательство. Доказательство проведем для частного случая, когда представляет собой одну формулу. По теореме дедукции, , ├ – тавтология. Преобразуем правую часть равносильности, учитывая, что формула тождественно ложна.
– тавтология Û ├ , что и требовалось доказать.
Как правило, в качестве формулы используют пустую формулу , которая не имеет никакого значения ни в какой интерпретации, и, по определению, является противоречием.
Метод резолюций использует специальную форму формул, которая называется предложением.
Определение.Предложением называется дизъюнкция формул вида или , где – атом (буква).
Любая формула исчисления высказываний может быть преобразована в предложение следующей последовательностью действий:
1. Замена импликации по формуле: (проверьте самостоятельно). В результате в формуле остаются связки: , , .
2. Преобразование выражений с инверсиями по закону двойного отрицания: , законам де Моргана: , . В результате инверсии остаются только перед буквами.
3. Приведение формулы к конъюнктивной нормальной форме с помощью дистрибутивных законов:
,
.
4. Преобразование конъюнктивной нормальной формы во множество предложений: .
Напомню, что связки , используются здесь для удобства записи.
Определение.Множество формул называется невыполнимым, если оно не имеет модели, то есть интерпретации, в которой все формулы истинны.
Без доказательства приведем следующую теорему.
Теорема.Если из формулы получено множество предложений, то формула тождественно ложна тогда и только тогда, когда множество невыполнимо.
До сих пор мы пользовались только одним правилом вывода – Modus ponens. В других исчислениях высказываний имеют место и другие правила вывода.
Правило резолюций. Даны предложения: , , где – пропозициональная буква, и – предложения (в частности, пустые или содержащие только одну букву или ее отрицание). Правило резолюций формулируется так: , ├ .
, называются резольвируемыми предложениями, а – резольвентой.
Правило резолюций будем обозначать .
Теорема.Резольвента логически следует из резольвируемых предложений.
Доказательство.В вышеприведенных обозначениях, нам нужно доказать, что – тавтология (по теореме дедукции).
Предположим, что
Полученное противоречие доказывает утверждение теоремы.
Правило резолюций применяется в опровержении методом резолюций – алгоритме, устанавливающем выводимость ├ .
Запишем . Каждая формула из множества и формула независимо преобразуются во множество предложений. В этом множестве нужно найти резольвируемые предложения и применить к ним правило резолюций. Резольвенты добавляются во множество предложений до тех пор, пока не будет получено пустое предложение. Возможны два случая:
· Среди множества предложений нет резольвируемых. Вывод: теорема опровергнута, и формула не выводима из множества формул .
· Получено пустое предложение. Теорема доказана. Имеет место выводимость ├ .
Примеры.1.Методом резолюций доказать теорему ├ .
Доказательство.Запишем инверсию исходной формулы:
.
Заменим все импликации по соответствующей формуле:
.
Применим закон двойного отрицания и закон де Моргана:
.
Получаем предложения: , , . Резольвируем их:
1. – предложение.
2. – предложение.
3. – предложение.
4. . 1, 2.
2. Методом резолюций доказать теорему
├ .
Доказательство.Запишем инверсию исходной формулы:
.
Заменим все импликации по соответствующей формуле:
.
Применим закон двойного отрицания и закон де Моргана:
.
Получаем предложения: , , .
1. – предложение.
2. – предложение.
3. – предложение.
4. . 1, 3.
5. . 2, 4.
В Содержание.
Задачи.
Методом резолюций доказать теоремы:
1) ├ .
2) ├ .
3) ├ .
4) ├ .
5) ├ .
6) ├ .
7) ├ .
8) ├ .
9) ├ .
10) ├ .
11) ├ .
12) ├ .
13) ├ .
14) ├ .
15) ├ .
В Содержание.
Дата добавления: 2022-02-05; просмотров: 336;