Формула Ньютона – Лейбница

Если есть какая-либо первообразная от непрерывной функции , то справедлива формула

.

Она называется формулой Ньютона – Лейбница или основной формулой интегрального исчисления. Эта формула дает практически удобный метод вычисления определенных интегралов в том случае, если известна первообразная подынтегральной функции.

Пример 1.Вычислить интеграл .

.

Пример 2.Вычислить интеграл .

.

Пример 3.Вычислить интеграл .

.

Простейшие методы вычисления определенных интегралов

Замена переменной в определенном интеграле

Пусть дан интеграл

,

где функция непрерывна на отрезке . Введем новую переменную t формулой

.

Если

1) , ;

2) и непрерывны на отрезке ;

3) определена и непрерывна на отрезке , то

.

Отметим, что при вычислении определенного интеграла в данном случае мы не возвращаемся к старой переменной.

Пример 4.Вычислить интеграл .

Сделаем замену переменной , тогда . Определим новые пределы: при , при . Следовательно,

.

Пример 5.Вычислить интеграл .

Сделаем замену переменной , . Определим новые пределы: при , при . Следовательно,

.