Вычисление площади плоской фигуры

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , прямыми и , и отрезком оси Ох, вычисляется по формуле:

.

Площадь фигуры, ограниченной кривыми , и прямыми , , вычисляется по формуле:

.

Пример 9.Найти площадь плоской фигуры, ограниченной параболой и гиперболой .

Рис. 3

Найдем точки пересечения параболы и гиперболы, для чего решим совместно уравнения этих кривых:

или

.

Левую часть последнего уравнения можно разложить на множители

,

откуда , и , . Таким образом, заданные кривые пересекаются в точках и (см. рис. 3). Следовательно,

.

Вычисление объема тела вращения

Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой и прямыми , , , вращается вокруг оси Ох, то объем тела вращения вычисляется по формуле

.

Если фигура, ограниченная кривыми , и прямыми , вращается вокруг оси Ох, то объем тела вращения

.

Пример 10.Вычислить объем тела, образованного вращением относительно оси Ох фигуры, ограниченной кривыми и (рис. 5).

Рис. 5

Определяем точки пересечения данных кривых. Для этого решаем уравнение , откуда , т.е. , . Следовательно,

.