Закон Стефана – Больцмана. Законы Вина

Экспериментально получены спектры теплового излучения черного тела (рис. 27) – зависимости при различных температурах . Эти спектры свидетельствуют о неравномерном распределении энергии излучения по длинам волн.

а б Рис. 27

Площадь под кривой спектра – это интеграл , который равен энергетической светимости АЧТ (см. таблицу). По экспериментальным спектрам теплового излучения черного тела установлены следующие законы. Закон Стефана – Больцмана: , (30) где – постоянная Стефана – Больцмана. Согласно формуле закона (30), с увеличением температуры энергетическая светимость черной поверхности растет пропорционально четвертой степени термодинамической температуры. Законы Вина: 1) закон смещения Вина: , (31) где – длина волны, на которую приходится – максимум

спектральной плотности энергетической светимости АЧТ (см. рис. 27 а); – постоянная Вина. Формула закона (31) показывает смещение положения максимума функции : с ростом температуры максимум кривой спектра ТИ смещается в коротковолновую область (см. рис. 27 б).

2) Второй закон Вина определяет зависимость высоты максимума функции от температуры:

, (32)

где – постоянная; иногда используется величина (см. решение задачи 18).

Квантовая природа теплового излучения. Формула Планка

Планк предположил, что атомы, совершающие колебания, излучают энергию квантами , величина которых определяется формулой Планка:

, (33)

где – постоянная Планка; – частота и длина волны излучения соответственно; – скорость света в вакууме.

Планк теоретически вывел зависимость спектральной плотности энергетической светимости черного тела от частоты и температуры в следующем виде:

. (34)

Здесь – спектральная плотность энергетической светимости, характеризующая распределение энергии по шкале частот излучения, в то время как величина – по длинам волн излучения.

Так как – это одна и та же величина, то . Здесь производная определяется по формуле связи : ; (знак обычно опускают, так как он указывает только на то, что с увеличением убывает ).

Таким образом, используя формулы , можно из формулы Планка (34) получить функцию в следующем виде:

. (35)

С помощью формул (34) и (35) Планк не только идеально объяснил форму кривой спектра теплового излучения черного тела, но и теоретически вывел все экспериментальные законы (см. п. 2.4.3). При этом в законах Стефана – Больцмана и Вина опытные постоянные были выражены через универсальные физические постоянные .