Минимальное время регулирования

Цифровой способ управления дает возможность создать регуляторы, обеспечивающие завершение переходного процесса в контуре регулирования за конечное число периодов дискретности [13]. Несмотря на некоторые недостатки такого рода систем регулирования, связанные с возможностью их реализации только для одного вида управляющего воздействия (ступенчатого, линейного и пр.), они получили определенное распространение.

Введем следующие обозначения: – ДПФ неизменяемой части системы регулирования, – ДПФ последовательного цифрового фильтра – регулятора скорости.

ДПФ разомкнутой системы регулирования , а соответствующая ДПФ замкнутой системы с единичной отрицательной обратной связью

. (5.25)

ДПФ неизменяемой части системы представим в виде

, (5.26)

где Q₁(z) – полином, содержащий все левые нули Q(p), Q₂(z) – полином, содержащий все правые нули Q(p), r_o – порядок астатизма объекта регулирования (неизменяемой части системы).

Для устойчивых объектов регулирования Q₂(z) всегда отсутствует. При последовательной коррекции Q₁(z) должна быть скомпенсирована ДПФ регулятора, кроме того, системе регулирования скорости необходимо придать астатизм порядка ‘r’. С учетом этого ДПФ разомкнутой системы должна быть равна

, (5.27)

где – ДПФ регулятора скорости.

Желаемая ДПФ замкнутой системы, переходной процесс в которой заканчивается за конечное и минимальное время равна [7]:

, (5.28)

где определяет минимальное число периодов дискретности для достижения установившегося состояния.

Для нахождения неизвестных полиномов M₁(z) и N₁(z) воспользуемся равенством знаменателей желаемой и исходной ДПФ разомкнутой системы

. (5.29)

При определении полиномов P(z), Q(z) и неизменяемой части системы для подчиненной системы регулирования учтем, что в ее состав входит замкнутый контур регулирования тока. Структурная схема системы регулирования скорости в дискретной форме представлена на рис. 5.4.

Звено с ДПФ изображает электромеханическую часть электропривода. Эта ДПФ получается в результате z – преобразования передаточной функции электромеханической части ДПТ

. (5.30)

Таким образом, ДПФ неизменяемой части системы регулирования скорости с учетом замкнутого контура тока равна:

, (5.31)

где , , .

Выполним синтез регулятора скорости для астатизма регулятора . Величина , обеспечивает минимальное время переходного процесса. Находим порядок полиномов и : , , . Следовательно, , , а из равенства находим неизвестное а₁, а₀, b₁ ­и b₀.­ Для этого приравняем коэффициенты левой и правой частей при различных степенях z:

z³ : ,

z² : ,

z¹ : ,

z⁰ :

откуда , , , , т.е. , .

В результате ДПФ регулятора скорости , а ДПФ разомкнутой системы равна и ДПФ замкнутой системы примет вид .

При необходимости можно рассмотренным выше способом ввести импульсную коррекцию запаздывания на один период дискретности, например, при использовании датчиков скорости с усреднением за период дискретности. Результаты расчетов регулятора скорости и корректирующих фильтров, выполненных в соответствии с рис.5.5, приведены в табл. 5.2.

Анализ переходных процессов в САР скорости показывает, что обеспечение конечной длительности переходных процессов не всегда сопровождается соблюдением его высокого качества, так при перерегулирование может достигать 100%. Снижение перерегулирования достигается введением “коэффициента жесткости” – х [6]. В табл.2 приводятся данные по полиномам и , выбранным с учетом коэффициента жесткости из выражения

. (5.32)

Рассмотрим синтез регулятора скорости и компенсирующего запаздывание корректирующего устройства для системы с ДПФ неизменяемой части системы

где , , а , что необходимо для компенсации запаздывания. Рассмотрим случай, когда , порядки полиномов и равны , , следовательно, ; . Определим .

Из условия найдем а₁, а₀, b₁ и b₀, приравняв коэффициенты при соответствующих степенях z:

z³ : ,

z² : ,

z¹ : ,

z⁰ : ,

находим , , , .

Затем находим , . Таким образом, ДПФ регулятора скорости равна . ДПФ разомкнутой системы

. (5.33)

ДПФ корректирующего фильтра запаздывания

. (5.34)

Рассмотрим случай, когда с целью уменьшения перерегулирования вводится “коэффициент жесткости”. Одновременно с этим введем условие компенсации запаздывания на один такт. Рассмотрим синтез регулятора для и для неизменяемой части системы, когда

, , , и .

Находим коэффициенты полиномов и из условия

, (5.35)

или .

Приравнивая коэффициенты левой и правой частей равенства при одинаковых степенях z

z³ :

z² :

z¹ :

z⁰ : ,

находим коэффициенты , , ; . Следовательно, полиномы равны , , а ДПФ регулятора скорости . ДПФ корректирующего запаздывание фильтра , а ДПФ замкнутой системы регулирования скорости .

Пример расчета 9. Рассчитаем регулятор скорости и корректирующий запаздывание на один такт фильтр для условий и результатов расчета регулятора тока в примере расчета 5. ДПФ замкнутого контура регулирования тока

ДПФ неизменяемой системы в контуре регулирования скорости

.

С учетом того, что , , с и Ом, находим

.

В общем виде , ,

По табл.2 находим, что для , для компенсированной ДПФ

,

а ДПФ корректирующего фильтра

Рассмотрим случай цифрового регулирования скорости ДПТ, когда в контуре регулирования тока используется релейный широтно-импульсный регулятор, В таком случае контур тока можно считать практически безинерционным с коэффициентом передачи 1/К_ДТ. ПФ неизменяемой части контура скорости согласно приведенной на рис.6 структурной схемы и с учетом запаздывания вычислений алгоритма в микро-ЭВМ равна:

.

С учетом экстраполятора нулевого порядка определим ДПФ неизменяемой части контура скорости с помощью модифицированного z – преобразования

,

где .

Полагая , найдем ДПФ неизменяемой части САР скорости

, (5.36)

где , ,

Выполним синтез регулятора скорости для случая, когда порядок астатизма системы . Порядок полиномов и должен удовлетворять условиям:

, , ,

следовательно, ищем в виде , а из равенства

.

Обозначим , где , , и получаем равенство следующего вида

Раскрывая скобки и приравнивая коэффициенты в левой и правой частях равенства при одинаковых степенях z, составляем систему уравнений

Решая уравнения совместно, находим

, , , .

ДПФ регулятора скорости , а ДПФ замкнутого контура скорости .

Так как в большинстве случаев переходный процесс в cинтезированной системе отличается большим перерегулированием, рассмотрим случай введения ''коэффициента жёсткости'', для этого представим исходное для нахождения M₁(z) и N₁(z) равенство в виде , или

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z в левой и правой частях равенства, находим .

Решая совместно, получим, b₁ =1

, , .

Пример расчета 10. Используя данные примера 2, рассчитаем регулятор скорости, если в контуре тока применен релейный ШИР. Примем при расчёте .

Таблица 2

Находим ДПФ неизменяемой части САР скорости

,

где ; .

Следовательно, .

Находим коэффициенты полиномов M₁(z) и N₁(z), входящих в ДПФ регулятора скорости : b₁=1, b₀=0,56, a₁=26,736, a₀=15,6. ДПФ регулятора скорости в этом случае равна , ДПФ замкнутой системы .