Математическая формулировка задач при технологическом проектировании

При решении задач методом математического моделирова­ния объект, подлежащий изучению (реальная технологическая система, процесс, производственная ситуация, проектная задача и т.п.), заме­няется математической моделью. Математическая модель пред­ставляет собой совокупность математических соотношений, отобра­жающих взаимосвязь между существенными с точки зрения решаемой задачи параметрами (признаками) объекта-оригинала. Математические соотношения могут представлять собой функциональные зависимости или логические соотношения. Окончательный вид формул и матема­тических зависимостей между признаками объекта обычно называют математической моделью.Под признаками моделируемого объекта понимаются параметры его структуры, различные свойства, особен­ности и закономерности функционирования и т.п. Математическая модель описывает зависимость между исходными и искомыми вели­чинами или данными.

Практически любой реальный объект обладает достаточно большим числом характеризующих его признаков. Разработка математических моделей, описывающих все возможные взаимосвязи между всеми пара­метрами моделируемого объекта, в подавляющем большинстве случа­ев, с одной стороны, просто невозможна из-за их сложности. С другой стороны, математическое описание всех взаимосвязей просто не тре­буется, так как в зависимости от предпринимаемого исследования те или иные параметры и их взаимосвязи являются несущественными и могут не учитываться. Если математическая модель построена корректно, то существен­ные признаки ее и объекта-оригинала идентичны со степенью досто­верности, достаточной с точки зрения решаемой задачи. В соответствии с этим знания, полученные при исследовании модели, переносятся на оригинал.

В настоящее время основные этапы перехода от объекта-оригинала к его математической модели выполняются на основе опыта, интуиции и анализа аналогичных исследований. При этом проблема считается разрешимой, если ее удается свести к математическим задачам, для которых известны методы решения. В противном случае прикладная проблема сводится к математической, для разрешения которой должны быть разработаны новые математические подходы,

Таким образом, первым этапом решения задачи автоматизации проектирования технологических процессов является математиче­ская формулировка задачи, включающая математическое описание усло­вий задачи, а также определение аналитических выражений, которые подлежат решению на ЭВМ. Для перехода от словесного описания за­дачи к математической формулировке используют математические методы.

В процессе проектирования с помощью САПР в качестве проме­жуточных и окончательных решений используют математические мо­дели следующих видов:

· иконические, отображающие оригинал в двух- или трехмерном измерении в уменьшенном или увеличенном масштабе, – это плоские и объемные изображения объектов проектирования, выполненные в соответствии с правилами ЕСКД, ЕСТД, ЕСТПП (чертежи, схемы, карты эскизов, фотографии);

· аналоговые, воссоздающие, например, статические и динамиче­ские свойства оригинала (графы, диаграммы, циклограммы, сетевые графики, физические модели, в которых используется подобие явлений и процессов, и имитационные (статистические) модели, отображаю­щие с помощью ЭВМ поведение оригинала в разных реальных ситуа­циях, в которых может оказаться будущий объект проектирования). Для технологического процесса – это его структура, представленная в виде маршрутной, операционной карты, для процесса проектирова­ния – его структура, представленная в виде графа;

· символические, отображающие свойства и отношения оригинала с помощью слов или математических символов (описания с исполь­зованием естественного или специализированного языка, логические модели, переводящие реальную систему и отношения в ней на язык математической логики);

· модели состояний и значений свойств объекта – это формальное (упрощенное) описание объекта (процесса) в виде отдельных формул, систем уравнений и т.д. Они предназначены для расчетов параметров объекта проектирования. Для технологического проектирования – это математические модели для расчета припусков и межоперационных размеров, режимов резания и т.д.

Математические модели, используемые в САПР ТП, имеют общую структуру. Все переменные в математических моделях делятся на три группы: управляемые, неуправляемые и производные.

Под управляемыми переменными понимаются такие, выбор конкрет­ных значений которых определяет выбор того или иного проектного решения.

Неуправляемые переменные характеризуют ситуацию, в которой должно быть принято решение. Они описывают внешние факторы, не зависящие от оптимизируемых проектных решений, но влияющие на последствия принятия решения,

Производные переменные, зависящие от управляемых и неуправляе­мых переменных, являются результатами принятия решения. К таким переменным в проектных задачах относятся технико-экономические характеристики проектируемого объекта.

Основой процесса выбора проектных решений на различных эта­пах является достижение некоторых целей. Их подразделяют на каче­ственные и количественные.

Под качественными целями подразумеваются цели, которым соот­ветствуют только два исхода – цель достигнута или не достигнута. Соотношения, описывающие условие выполнимости качественных це­лей, называют ограничениями модели (техническими ограничениями), а решения, удовлетворяющие этим условиям, – допустимыми, поэтому этот тип критериев иногда называют критериями допустимости.

Под количественными целями подразумевают цели, которые заклю­чаются в стремлении увеличить (уменьшить) некоторые характери­стики проектируемого объекта, зависящие от принимаемых решений. Критерии, служащие для выражения количественных целей, называют критериями эффективности или частными критериями эффективности.

При выполнении проектных задач, принимая решение, необходимо учитывать возможность достижения нескольких количественных целей, поэтому приходится учитывать несколько частных критериев эффек­тивности. Наиболее простым выходом в данной ситуации является построение обобщенного критерия, который представляет определен­ную совокупность частных критериев.

В условиях реальных производств использование обобщенных кри­териев является наиболее подходящим вариантом.

Зависимость между обобщенным или частным критерием эффек­тивности и параметрами оптимизации называется целевой функцией.

Итак, в процесс моделирования входят следующие этапы:

- постановка задачи;

- построение модели;

- разработка методов получения проектных решений на модели;

- экспертная проверка и корректировка модели и методов.

Для различных математических задач, используемых в САПР ТП, разработаны численные методы их решения. Выбор численного мето­да определяется:

- требованиями, предъявляемыми постановкой задачи. Сюда отно­сятся необходимая точность, быстрота решения, затраты на подго­товку программы;

- возможностью ЭВМ реализовать выбранный метод.

Численные методы позволяют свести решение самых разнообраз­ных и сложных операций (интегрирование, дифференцирование, ло­гарифмические и другие функции) к последовательному выполнению четырех арифметических действий.

На этапе выбора численного метода решения задачи методы оптими­зации выбирают исходя из вида долевой функции, количества и харак­тера переменных и др.

Разработка алгоритма предусматривает определение последователь­ности решения задачи на основе ранее выполненной математической формулировки задачи и выбора численного метода ее решения.

Выполнение проектных процедур при автоматизированном проек­тировании основано на оперировании математическими моделями тех­нологических процессов, представляющих систему математических объектов (чисел, переменных, множеств, графов, матриц и т.д.) и отно­шений между ними, отражающих некоторые свойства технологического процесса.

В САПР ТП применяются структурно-логические и функциональ­ные математические модели. Структурно-логические математические модели подразделяются на табличные, сетевые и перестановочные.

Табличная модель описывает одну структуру технологического процесса. В такой модели каждому набору условий соответствует единственный вариант проектируемого технологического процесса. Поэтому табличные модели используют для поиска типовых проектных решений.

Сетевые модели описывают множество структур технологического процесса, отличающихся количеством и (или) составом элементов структуры при неизменном отношении порядка. Структура элементов сетевой модели описывается ориентированным графом, не имеющим ориентированных циклов. В модели может содержаться несколько вариантов проектируемого технологического процесса, однако во всех вариантах порядок элементов неизменный.

Перестановочные модели описывают множество структур технологического процесса, отличающихся количеством и (или) составом элементов структуры при неизменном отношении порядка.

Сетевые и перестановочные модели используют для получения типовых, групповых и индивидуальных технологических процессов.

Примерами функциональных моделей являются математические модели, используемые при расчете и оптимизации режимов резания.