Возрастание и убывание функции, ее экстремумы
Рассмотрим функцию , непрерывную вместе со своей производной на некотором промежутке. Геометрический смысл производной заключается в том, что , где -угол наклона касательной к положительному направлению оси Oх.
Если с возрастанием значения аргумента х значение функции yвозрастает, то функция является возрастающей (на рис. в интервале ).Касательные, проведенные к кривой у = f(х) в любой точке этого промежутка, образуют с осью Ох острый угол, тангенс которого положителен, т. е. для величина . Значит, если функция возрастает на некотором промежутке, то ее производная на этом промежутке положительна.
Теорема. Если функция f(x) имеет положительную производную в каждой точке интервала l, то эта функция возрастает на этом интервале. Если функция f(x) имеет отрицательную производную в каждой точке интервала l, то эта функция убывает на этом интервале.
Замечание. Интервалы, в которых функция возрастает или убывает, называются интервалами монотонного изменения функции.
Мы предположили, что наша функция и ее производная непрерывны, а значит они меняют знаки с «-» на «+» или с «+» на «-» только при переходе через нуль, т. е. в тех точках, в которых интервал убывания сменяется интервалом возрастания, (в которых у' = 0). В этих точках мгновенная скорость изменения функции равна нулю. Точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю, бесконечности или не существует, называются критическими. На рис. 2.1. имеются три критические точки а, с, е.
Пример.2.7.Найти интервалы монотонного изменения функции
Решение.Найдем производную: .
Эта функция непрерывна. Чтобы найти критические точки, приравняем производную нулю и найдем корни полученного уравнения:
Разобьем числовую прямую на интервалы: ; ; .
Определим знак производной в каждом из интервалов. В результате определим участки возрастания-убывания функции.
x | |||
+ | - | + | |
y | возрастает | убывает | возрастает |
Таким образом, при и функция возрастает, при - убывает.
Наименьшее значение функции в окрестности некоторой точки называют минимальным значением (min), а наибольшее ее значение - максимальным (max). Дадим строгое определение этим понятиям.
Точка из области определения функции f называется точкой минимума этой функции, если у этой точки есть окрестность во всех точках которой, не совпадающих с точкой ,
(2.7)
Точка из области определения функции f называется точкой максимумаэтой функции, если у этой точки есть окрестность во всех точках которой, не совпадающих с точкой ,
(2.8)
Максимумы и минимумы называются экстремумами функции.
Замечание.Так как речь идет об экстремальных значениях функции в окрестностях некоторых точек, то иногда определенные нами экстремумы называются локальными экстремумами.
У непрерывной функции точки минимума и максимума обязательно чередуются.
Рассмотрим необходимое условие существования экстремума.
Теорема Ферма. Если внутренняя точка xо из области определения непрерывной функции f(х) является точкой экстремума и в этой точке существует производная, то она равна нулю, т. е.
(2.9)
Пример. 2.8. Исследовать на экстремум функцию .
Решение. Функция точек разрыва не имеет. Область определения – вся числовая ось. Исследуем данную функцию на экстремум. Определим критические точки. Для этого находим первую производную данной функции и приравниваем ее к нулю:
Разобьем числовую прямую на интервалы: ; ; .
Определим знак производной в каждом из интервалов. В результате определим участки возрастания-убывания функции.
x | ||||||
+ | - | + | ||||
y | max при | min при | ||||
При производная меняет знак с «плюса» на «минус», то есть в этой точке функция имеет максимум. Для определения значения этого минимума подставим в первоначальное выражение функции , в результате получим .
При производная меняет знак с «минуса» на «плюс», то есть в этой точке функция имеет минимум. Для определения значения этого максимума подставим в первоначальное выражение функции , в результате получим .
Таким образом, функция имеет две точки экстремума:
- максимум; - минимум.
Дата добавления: 2020-11-18; просмотров: 408;