Дифференцирование функций нескольких переменных

Частные и полные приращения функции

Пусть — функция двух независимых переменных и D — область ее определения. Выберем произвольную точку ÎD и дадим приращение , а значение оставим неизменным. При этом функция получит приращение

,

которое называется частным приращением функции по переменной в точке .

Аналогично, считая постоянной и придавая приращение , получаем частное приращение функции по переменной в точке :

.

Полным приращением функции в точке называют разность

.

Замечание. В общем случае полное приращение не равно сумме частных приращений, т.е. .

Геометрически частные и полное приращения функции можно изобразить отрезками .

Пример. Найти частные и полное приращения функции в точке , если = 0,2, = 0,3.

Решение. По определению найдем частные приращения:

,

.

Найдем полное приращение функции:

.

При =1, =2, =0,2, =0,3 : = 0,2×2 = 0,4,

=1×0,3 = 0,3,

0,4 + 0,3 +0,2×0,3 = 0,76,

=0,4 + 0,3 = 0,7,

0,7¹0,76,

т.е. мы получили, что при таких условиях .

Аналогично определяют частные и полное приращения функции n переменных .