Частные производные
Определение.Частной производной функции по переменной в точке называется предел отношения частного приращения функции к соответствующему приращению аргумента , когда последнее произвольным образом стремится к нулю, т.е.
.
Используются также и другие обозначения частных производных: , , .
Аналогично определяют и частную производную функции в точке по переменной :
.
Таким образом, частная производная функции нескольких переменных определяется как производная функции одной переменной при фиксированных значениях остальных переменных.
Пример.Найти частные производные функции .
Решение.Частную производную функции вычисляем как производную данной функции по переменной , считая постоянной:
. Аналогично .
Пример.Найти частные производные функции .
Решение.Частную производную функции вычисляем как производную данной функции по переменной , считая и постоянными:
.
Аналогично и .
Геометрический смысл частных производных функции двух переменных.Пусть графиком функции является некоторая поверхность Q. Возьмем точку Î D . На этой поверхности ей соответствует точка . Пересечем график данной функции плоскостью . В сечении получим кривую ( на рисунке это кривая ), которую можно рассматривать как график функции одной переменной в плоскости .
Тогда, согласно геометрическому смыслу производной функции одной переменной, значение частной производной функции в точке равно тангенсу угла α, образованного положительным направлением оси Ох и касательной, проведенной в точке к линии пересечения поверхности и плоскости .
Аналогично трактуется и геометрический смысл частной производной функции по .
Механический смысл частных производных функции двух переменных.Частные производные и характеризуют скорость изменения функции в данной точке , причем частная производная задает скорость изменения функции в направлении прямой , частная производная ― в направлении прямой .
Дата добавления: 2021-01-11; просмотров: 349;