Колебания систем с большим числом степеней свободы


Рассмотрим малые колебания системы, имеющей степеней свободы. Положение такой системы может быть задано с помощью некоторых величин , которые называются обобщенными координатами системы. Физическая природа этих величин может быть различна в различных системах, важно только то, что они определяют положение системы.

В теории колебаний доказывается, что такая система обладает собственными частотами (j = 1, 2, 3, … ). При произвольном (на самом деле не оптимальном выборе набора обобщенных координат системы) общее решение уравнения движения системы имеет вид суперпозиции гармонических колебаний с собственными частотами системы:

. (37.08)

При этом энергия системы описывается выражением:

. (37.09)

Первое слагаемое в (37.09) является аналогом потенциальной энергии гармониче­ского осциллятора, но связывает отклонения из положения равновесия различных осцилляторов. Похожим образом второе слагаемое является аналогом кинетиче­ской энергии, но включает в себя произведения скоростей различных осциллято­ров.

Можно показать, что при правильном выборе обобщенных координат сис­темы (который всегда существует!) изменение каждой из них будет представ­лять собой простое (не суперпозицию!) гармоническое колебание, совершаемое на одной из собственных частот :

. (37.10)

Выбранные таким специальным образом обобщенные координаты называют нормальными, а совершаемыые колебания - нормальными колдебаниями.

Важнейшей особенностью нормальных колебаний является то, что энергия, системы оказывается равна сумме энергий каждого из нормальных колебаний:

. (37.11)

 

Чтобы понять отличие нормальных координат от произвольно выбранных просто обощенных координат рассмотрим систему, состоящую из двух одинаковых математических маятников длиной , связанных на расстоянии от точки подвеса невесомой пружиной жесткости – рисунок 37.5. На первый взгляд в качестве обобщенных координат естественно взять углы и , которые маятники образуют с вертикалями черезх точки подвеса. Решение уравнений движения дает в этом случае следующий результат:

 

. (37.12)

где - константы, определяемые начальными условиями, а собствен­ные частоты определяются соотношениями:

. (37.13)

Одна из собственных частот определяется только длиной маятников, а вторая, кроме того, еще и жесткостью и местом закрепления пружины.

Легко видеть, что если в качестве обобщенных координат выбрать полусумму и полуразность и -

, (37.14)

то получим новые обобщенные координаты и , каждая из которых изменя­ется по простому гармоническому закону. Эти координаты и есть нормальные обобщенные координаты системы в рассматриваемом случае.

Нормальные колебания системы представляют собой два частных случая колебаний, которые может совершать система. В одном случае маятники надо от­клонить на одинаковые углы в одну сторону и одновременно отпустить. Система будет совершать колебание с частотой - маятники синфазно отклоняются от положения равновесия, пружина не играет никакой роли. В другом случае, для совершения колебания с частотой , маятники следует развести на одинако­вые углы в противоположные стороны и одновременно отпустить. Маятники бу­дут совершать противофазные колебания с частотой .

Рассмотрим систему из трех одинаковых шариков, соединенных одинако­выми пружинками. Такая система представляет собой фактически, очень прими­тивную, но все же модель одномерного кристалла. Если шарики могут двигаться только в плоскости рисунка, то такая система будет обладать тремя степенями свободы. Нормальные колебания такой системы показаны на рисунке 37.7. Оче­видно, что такие же колебания можно представить происходящими в плос­кости , перпендикулярной рисунку. Кроме того, можно представить колеба­ния, соответствующие распространению в системе продольной волны - если шарики могут совершать колебания только вдоль линии соединяющей их. В этом случае тоже возможны три моды колебаний, при которых смещение из положения равновесия соответствует трем модам для распространения по­перечной волны. Всего в трехмерном случае получаем возможных ко­лебаний в соответствии с количеством степеней свободы шариков.

Дата добавления: 2021-01-11; просмотров: 318;

Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.008 сек.