Теория теплоемкости кристаллов Дебая

В реальном критсталле все атоомы связаны друг с другом и смещение из положения равновесия одного вызывает смещение соседних. В результате по кристаллу распространяется волна. На границе кристалла волна отражается, накладывается на падающую, и в результате возникает стоячая волна, аналогичная волне, распространяющейся в струне. Стоячие волны в кристалле, как и в струне гармоники, образуются не на всех частотах, а только на выделенных, набор которых определяется размерами кристалла и скоростью распространения волн в кристалле. Стоячие волны в кристалле представляют собой нормальные колебания кристалла. Обращает на себя внимание аналогия волн, распространяющихся в кристалле, и электромагнитных волн, существующих в полости с отражающими стенками.

Напомним, что количество стоячих волн, с частотами в интервале от до , в расчете на единицу объема, в котором они распространяются, определя­ется соотношением:

. (31.17)

- фазовая скорость распространения волн.

В кристалле в данном направлении могут распространяться независимо три волны – две поперечных, поляризованных во взаимно перпендикулярных плоско­стях и одна продольная. Для упрощения рассуждений предположим, что скорости продольных и поперечных совпадают, . Тогда

. (37.15)

Дискретность структуры кристалла приводит к тому, что частоты нормальных колебаний ограничены сверху некоторой частотой . Действительно в бесконечной цепочке атомов формально можно представить волну с большей частотой (на рисунке 37.9 она показана темно зеленой). Однако атомов, способных осуществить такие смещения нет, и такой волны реально не может быть, поскольку у нее нет материального носителя.

можно найти из условия, что полное число нормальных колебаний должно быть равно числу степеней свободы колебательной системы. Есди концентрация атомов в кристалле равна , то для единицы объема кристалла число степеней свободы должно быть равно . Поэтому

. (37.16)

Интегрируя, находим:

. (37.17)

Подставив это значение в (37.15), для получим

. (31.18)

Для нормальных колебаний энергия системы равна сумме энергий нормальных колебаний. Поэтому внутреннюю энергию единицы объема кристалла можно рассчитать, умножив среднюю энергию колебания частоты на количество колебаний в интервале от до - , и проин­тегрировав полученное выражение в интервале от нуля до :

. (37.19)

Сравним подходы в теории Эйнштейна и Дебая. Представив кристалл в виде системы независимых одинаковых осцилляторов, Эйнштейн рассчитывал внутреннюю энергию простым умноженикем: . В теории Дебая расчет гораздо ближе к действительности, и получается более точное, но и более слож­ное соотношение (37.19).

Подставим в (37.19) выражения для и :

. (37.20)

Проведем анализ для области высоких и низких температур. Величину , определяемую из условия

называют температурой Дебая. Эта температура разграничивает область высоких температур, когда дискретностью изменения энергии можно пренебречь, и область низких температур, в которой определяющем фактором является как раз допустимость изменения энергии только на величину .

В области высоких температур, т.е. , и можно поло­жить, что . Тогда

. (37.22)

Теплоемкость единицы объема кристалла

. (37.23)

Положив (числу Авогадро), для молярной теплоемкости получаем значение , в соответствии с законом Дюлонга и Пти.

В области низких температур, т.е. , дифференцируя (37.20), нахо­дим:

. (37.24)

Обозначим . Тогда . Подставим эти значения в (37.24):

. (37.25)

Условие означает, что

. (37.26)

Поэтому верхний предел интеграла можно положить равным бесконечности. То­гда весь интеграл можно считать равным некоторому числу, и из (37.25) следует, что

. (37.26)

в соответствии с экспериментальными данными. В связи с этим температурную зависимость теплоемкости в области низких температур принято называть зако­ном Дебая.

Понятие о фононах

С представлением о стоячих волнах, существующих в некотором объеме мы столкнулись дважды – один раз при рассмотрении плотности энергии электро-магнитных волн в полости, а второй – при рассмотрении теории Дебая. В случае электро-магнитных волн ситуацию в полости можно представлять как газ фотонов. Аналогичным образом колебания кристаллической решетки можно представить как газ особых частиц, которые могут существовать и распространяться в пределах кристалла. Действительно, энергия нормального колебания с частотой – – складывается из порций (квантов) величиной

. (37.27)

– также как и для фотонов. Отличие только в существовании нулевых квантовых колебаний. Порции (кванты) энергии колебаний кристаллической решетки называют фононами. В силу того, что для существования фононов необходимо наличие среды, кристалла, фононы называют квазичастицами.

Во многих случаях (рассеяние рентгеновских лучей, комбинационное рассеяние света, расеяние ней тронов и др.) при описании процессов в кристалле удобно рассматривать колебания в ристалле, как газ фононов, каждый из которых обладает кроме энергии (37.27) квазиимпульсом