Уравнение Шрёдингера

Поскольку, по идее Де-Бройля, движение микрочастицы связано с некоторым волновым процессом, Шрёдингер сопоставил ее движению комплексную функцию координат и времени, которую он назвал волновой функцией и обозначил . Часто это функцию так и называют – «пси-функция». В 1926 году Шрёдингер сформулировал уравнение, которому должна удовлетворять :

. (33.13)

В этом уравнении:

m – масса частицы;

;

– функция координат и времени, градиент, который с обратным знаком определяет силу, действующую на частицу.

Уравнение (33.13) называется уравнением Шрёдингера. Отметим, что уравнение Шрёдингера не выводится из каких-либо дополнительных соображений. Фактически оно является постулатом квантовой механики, сформулированным на основе аналогии уравнений оптики и аналитической механики. Фактическим обоснованием уравнения (33.13) Является соответствие результатов, полученных на его основе экспериментальным фактам.

Решая (33.13), получают вид волновой функции, описывающей рассматриваемую физическую систему, например, состояния электронов в атомах. Конкретный вид - функции определяется характером силового поля, в котором находится частица, т.е. функцией .

Если силовое поле стационарно, то не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В этом случае решение уравнения Шрёдингера распадается на два множителя, один из которых зависит только от координат, другой – только от времени:

. (33.14)

где – полная энергия системы, которая в случае стационарного поля остаётся постоянной.

Подставив (33.14) в (33.13), получим:

После сокращения на ненулевой множитель получаем уравнение Шредингера, справедливое в указанных ограничениях:

. (33.15)

Уравнение (33.15) называется уравнением Шрёдингера для стационарных состояний, которое обычно записывают в виде:

. (33.16)

В квантовой механике широко используется понятие оператора. Под оператором подразумевают символ, указывающий правило, посредством которого одной функции, , сопоставляется другая – f:

. (33.17)

(Оператором можно считать набор символов, например, sin(), который подразумевает действия, которые необходимо совершить, чтобы рассчитать синус выражения в скобках. Так оператор означает, что необходимо найти сумму вторых частных производных по координатам.)

Обозначим

. (33.18)

Оператор называется оператором Гамильтона (гамильтонианом)

Воспользовавшись этим обозначением, уравнению (33.15) можно придать вид:

. (33.19)

Решение уравнения (33.18) позволяет найти возможные значения параметра и вид волновых функций, соответствующих им. Параметр в (33.18) имеет смысл энергии рассматриваемой системы. Допустимые значения параметра соответствуют возможным значениям энергии системы (собственным значениям). Поэтому говорят, что оператор Гамильтона является оператором энергии. А уравнения Шрёдингера вида (33.18) называют уравнениями Шредингера для собственных значений.

В квантовой механике каждой физической величине (динамической переменной) сопоставляется оператор, который обычно обозначают соответствующей прописной буквой . Например, операторы координат, импульса, момента импульса и т. д. С использованием каждого оператора можно записать уравнение, аналогичное по виду (33.18). Решая такие уравнения (т.е. уравнения типа (33.18) ), находят собственные значения .