Водородоподобный атом.

Напомним, что система, состоящая из неподвижного ядра и движущегося вокруг него электрона, называется водородоподобным атомом или водородоподобным ионом.

Поле, в котором движется электрон, является центрально симметричным. Поэтому при решении уравнения Шрёдингенра в данном случае используют сферическую систему координат: Уравнение Шрёдингенра для электрона в центральном поле ядра с зарядом имеет вид:

(35.1)

Подставив в это уравнение оператор Лапласа в сферических координатах, получим:

(35.2)

Решения (35.2), удовлетворяющие стандартным условиям, получаются при любых положительных Е и при дискретных отрицательных значениях:

(35.3)

Положительные значения энергии соответствуют электрону, пролетающему вблизи ядра и удаляющемуся на бесконечность. Такой электрон не связан с ядром, не образует атом (или ион) и интереса не представляет.

Электрону, связанному с ядром, соответствуют отрицательные значения энергии (35.3). Необходимо подчеркнуть, что эти значения соответствуют значениям, полученным в теории Бора, но в квантовой механике они являются следствием уравнения Шрёдингера, и дополнительных предположений в виде постулатов не требуется.

Собственные функции уравнения Шрёдингера содержат три целочисленных параметра: n, l, m:

n – называется главным квантовым числом и совпадает с номером уровня энергии в (35.3).

l и m – азимутальное и магнитное квантовые числа, определяющие модуль и проекцию момента импульса на некоторое направление.

Решения, удовлетворяющие стандартным условиям, получаются лишь для значений l, не превышающих . Следовательно, при заданном n, азимутальное квантовое число l может иметь значения

(35.4)

При заданном l магнитное квантовое число m может принимать различных значений:

(35.5)

Энергия электрона электрона в атоме водорода зависит только от n главного квантового числа (см. (35.3)), поэтому каждому уровню энергии соответствует несколько собственных функций, отличающихся значениями l и m. Таким образом, атом водорода может иметь одну и ту же энергию, находясь в состояниях, описываемых различными волновыми функциями. Энергетические состояния в таком случае называются вырожденными, а число различных состояний, соответствующих данной энергии – кратностью вырождения соответствующего энергетического уровня.