Положительный конус и его свойства.

Определение. К≠{0} называется упорядоченным кольцом, если существует непустое подмножество Р≠ элементов кольца, называемое положительным конусом, удовлетворяющим условиям (аксиомам положительного конуса):

(1) ;

(2) ;

(3) .

Теорема 7. Если К – упорядоченное кольцо с положительным конусом Р, то бинарное отношение <, определенное на К по правилу , является строгим линейным порядком.

Доказательство.

Отношение - антирефлексивно (?)

(?)

Предположим, что , что противоречит аксиоме (1) положительного конуса, следовательно, предположение неверно.

Отношение - антисимметрично (?)

a<b b<a b=a (?)

a<b b<a b–a,a–b P , что противоречит аксиоме (1) положительного конуса. Таким образом, посылка импликации всегда ложна, следовательно, импликация истинна.

Отношение - транзитивно (?)

a<b b<с a<с (?)

a<b b<с b–a,с–b P a<c.

Отношение - линейно (?)

a<b b<a a=b (?)

Пусть a, b K , b – a K. По аксиоме (3) положительного конуса возможен один из трех случаев:

1. b – a =0, a=b,

2. b – a P, a<b,

3. -(b – a)=a – b P, b<a.

что и требовалось доказать.

Свойства отношения :

выполняется:

Доказательство.

что и требовалось доказать.

Теорема 8. Отношение ≤, определенное на упорядоченном кольце К с положительным конусом Р следующим образом: , является линейным порядком.

(доказательство самостоятельно).