Вложение полукольца натуральных чисел в кольцо целых.

Договоримся обозначать множество целых чисел через .

Теорема 4. Полукольцо натуральных чисел изоморфно вкладывается в кольцо целых чисел.

Доказательство.

Рассмотрим множество . Покажем, что подалгебра алгебры .

замкнуто относительно сложения и умножения (?)

Рассмотрим соответствие заданное по правилу .

- отображение (?)

Всюду определенность очевидна, поскольку для каждого натурального числа можно построить класс .

Однозначность: (?)

ъ

- биекция (?)

Инъективность: (?)

.

Сюръективность: (?)

Возьмем , поскольку . В силу произвольности сюръективность доказана.

- гомоморфизм (?)

Сохранение операции сложения: (?)

Сохранение операции умножения: (?)

Таким образом доказано, что алгебра изоморфна подалгебре алгебры , следовательно, изоморфно вкладывается в .

что и требовалось доказать.

Замечание. Поскольку полукольцо натуральных чисел вкладываются в кольцо целых чисел, то отождествим элементы и , т.е. будем считать их (тождественно) равными. Ввиду этого отождествления получим .