Абсолютная величина целого числа и его свойства.
Определение. Абсолютной величиной (или модулем) целого числа a называется число .
Замечание.Данное определение корректно, поскольку множество {a,-a} – ограничено, следовательно, есть наибольшее.
Свойства модуля:
(доказательство самостоятельно)
Доказательство.
Свойства 1 и 2 следуют из определения.
Свойство 3. Для доказательства равенства рассмотрим все возможные случаи:
1) . Из этих соотношений получаем:
.
2) . Отсюда имеем: .
3) . Отсюда получаем: .
4) . Отсюда следует: .
Таким образом, во всех возможных случаях выполняется равенство .
Свойство 4. Из и получаем: .
Из и получаем: . .
В обоих возможных случаях имеем: .
Свойство 5. Из следует соотношение .
что и требовалось доказать.
Теорема о делении с остатком.
Теорема 15. , где b≠0, существует и при том единственная пара целых чисел такая, что . назовем остатком при делении a на b, q – неполным частным.
Доказательство.
Существование (?)
Проведем методом математической индукции в 3-ей форме.
1. База индукции.
Рассмотрим множество . Очевидно, это множество непустое и не ограничено сверху. Для любого элемента В верна теорема о делении с остатком в разделе существования, поскольку b≠0, bn=bn+0, где ,0≤ < .
2. Индуктивное предположение.
Предположим, что для произвольного целого числа z данная теорема справедлива, т.е.z = bq+r, где 0≤r< .
3. Проверим справедливость данного утверждения для числа z – 1.
z = bq+r bq+(r–1), где0≤r< .
Рассмотрим возможные случаи:
, где - неполное частное, - остаток, причем 0≤ < .
. Тогда q, r–1 – искомая пара чисел для и .
Существование доказано.
Единственность (?)
Методом от противного. Пусть . Тогда . Учитывая, что , рассмотрим следующие случаи:
1. .
2. . Тогда - противоречие. Следовательно, такой случай невозможен.
3. . Невозможен, доказательство аналогично 2.
Таким образом, из трех случаев возможен только один . Единственность доказана.
что и требовалось доказать.
Дата добавления: 2022-04-12; просмотров: 125;