Теоремы о существовании наибольшего и наименьшего элементов в подмножестве множества целых чисел.

Теорема 13.Любое непустое ограниченное снизу подмножество множества целых чисел имеет наименьший элемент.

Доказательство.

Пусть В ограничено снизу элементом т.е. .. Рассмотрим множество . , т.к. . . Такой элемент обязательно найдется, т.к. в противном случае . Покажем, что наименьший в . . Предположим, что . Тогда . Последнее противоречит условию , следовательно, предположение неверно. Тогда такой, что . Таким образом, - наименьший в .

что и требовалось доказать.

Теорема 14.Любое непустое ограниченное сверху подмножество множества целых чисел имеет наибольший элемент.

Доказательство.

Пусть ограничено сверху элементом , т.е. . Рассмотрим множество . , т.к. . Тогда ограничено снизу любым элементом из , следовательно, по теореме 13, имеет наименьший элемент . Покажем, что элемент такой, что , является наибольшим в . Предположим, что , следовательно, . Последнее противоречит тому, что - наименьший в , а, значит, предположение неверно. Тогда такой, что . Таким образом, - наибольший в .