С ожиданием (СМО с конечной очередью)
Этому графу состояний соответствует система дифференциальных уравнений для вероятностей состояний, которую обычно интегрируют для начальных условий
Р0 (0) = 1, Рi (0) = 0 (i ¹ 0),
т.е. в момент времени t = 0 система свободна от заявок. Для стационарного режима работы СМО с ожиданием, когда l = const, m = const, m < ¥, t ® ¥, используя результаты главы 3, имеем
,
где
; .
Используя нормировочное условие
,
получим
;
где
Для сокращения дальнейших записей введем обозначения:
(4.1)
Заметим, что если нормировочное условие записать в виде
то величина r будет определяться так:
(4.2)
Из (4.1) и (4.2) вытекают следующие равенства:
при ;
при ,
в справедливости которых для любых положительных a и c и любых положительных целых n и m легко убедиться.
С одной стороны,вероятность обслуживания заявки равна вероятности того, что заявка, поступившая на обслуживание, застает свободным хотя бы один из каналов или хотя бы одно место в очереди:
.
С другой стороны,
,
где – среднее число занятых каналов.
Следовательно,
.
Вероятность того, что канал занят,
Вероятность того, что система полностью загружена ( ), равна вероятности того, что в системе заняты все каналы:
Среднее время неполной загрузки ( ) СМО с ожиданием определяется как
Среднее время полной загрузки ( ) с учетом эргодического свойства определяется следующим соотношением:
Среднее время наличия очереди ( ) (т.е. время нахождения системы в группе макросостояний см. рис. 4.1) рассчитывается по формуле
.
При нахождении среднего времени занятости канала ( ) рассуждаем следующим образом. Допустим, что к моменту окончания обслуживания заявки в рассматриваемом канале очереди нет. Вероятность этой гипотезы н.о = 1 –Рн.о, где Рн.о – вероятность наличия очереди в системе.
Если в системе нет очереди к моменту окончания обслуживания, то среднее время занятости канала будет равно . Если к моменту окончания обслуживания в системе будет очередь (вероятность этой гипотезы Рн.о), то среднее время занятости канала будет равно . Применяя формулу полного математического ожидания, можно найти среднее время занятости канала:
и вероятность наличия очереди:
Среднее время простоя канала:
При необходимости можно определить и другие характеристики системы (см., например, работу [9]).
Дата добавления: 2021-01-11; просмотров: 403;