С ожиданием (СМО с конечной очередью)


 

Этому графу состояний соответствует система дифференциальных уравнений для вероятностей состояний, которую обычно интегрируют для начальных условий

Р0 (0) = 1, Рi (0) = 0 (i ¹ 0),

 

т.е. в момент времени t = 0 система свободна от заявок. Для стационарного режима работы СМО с ожиданием, когда l = const, m = const, m < ¥, t ® ¥, используя результаты главы 3, имеем

 

,

где

; .

 

Используя нормировочное условие

 

,

получим

 

;

где

 

Для сокращения дальнейших записей введем обозначения:

 

(4.1)

 

Заметим, что если нормировочное условие записать в виде

 

 

то величина r будет определяться так:

 

(4.2)

 

Из (4.1) и (4.2) вытекают следующие равенства:

 

при ;

 

при ,

 

в справедливости которых для любых положительных a и c и любых положительных целых n и m легко убедиться.

С одной стороны,вероятность обслуживания заявки равна вероятности того, что заявка, поступившая на обслуживание, застает свободным хотя бы один из каналов или хотя бы одно место в очереди:

.

С другой стороны,

,

где – среднее число занятых каналов.

Следовательно,

.

 

Вероятность того, что канал занят,

Вероятность того, что система полностью загружена ( ), равна вероятности того, что в системе заняты все каналы:

 

 

Среднее время неполной загрузки ( ) СМО с ожиданием определяется как

 

Среднее время полной загрузки ( ) с учетом эргодического свойства определяется следующим соотношением:

 

Среднее время наличия очереди ( ) (т.е. время нахождения системы в группе макросостояний см. рис. 4.1) рассчитывается по формуле

.

 

При нахождении среднего времени занятости канала ( ) рассуждаем следующим образом. Допустим, что к моменту окончания обслуживания заявки в рассматриваемом канале очереди нет. Вероятность этой гипотезы н.о = 1 –Рн.о, где Рн.о – вероятность наличия очереди в системе.

Если в системе нет очереди к моменту окончания обслуживания, то среднее время занятости канала будет равно . Если к моменту окончания обслуживания в системе будет очередь (вероятность этой гипотезы Рн.о), то среднее время занятости канала будет равно . Применяя формулу полного математического ожидания, можно найти среднее время занятости канала:

 

и вероятность наличия очереди:

 

 

Среднее время простоя канала:

 

 

При необходимости можно определить и другие характеристики системы (см., например, работу [9]).

 

 




Дата добавления: 2021-01-11; просмотров: 403;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.01 сек.