Интеграл Лебега на множестве конечной меры.

Пусть задано (X,S,m) – пространство с конечной мерой и f : X®R измеримая функция.

Определение. Назовём функцию f интегрируемой (суммируемой) на X, если существует последовательность простых интегрируемых на X функций , сходящаяся равномерно к f. Интегралом Лебега функции f на множестве X называется предел интегралов от функций :

.

Различие в определениях интеграла Римана и интеграла Лебега заключается в том, что при составлении интегральных сумм Римана разбиение производится по признаку близости точек на оси OX, а при составлении интегральных сумм Лебега – по признаку близости значений функции.

Основные свойства интеграла Лебега по множеству конечной меры:

1) для любого измеримого множества

;

2) если – интегрируемы по Лебегу, то функция , где , интегрируема по Лебегу и справедливо равенство

;

3) если f – измеримая ограниченная функция, то она интегрируема по Лебегу;

4) если f – интегрируемая функция и , то

;

5) если f – интегрируемая функция и , то

;

6) если – интегрируемые функции и , то

;

7) если , где – интегрируемая, а – измеримая, то f интегрируема по Лебегу;

8) если , где – интегрируемые, а f – измеримая функция, то f – интегрируема.

9) если f – интегрируемая функция, а g – ограниченная измеримая функция, то – интегрируема, причём

.

10) если f интегрируема на X, то f интегрируема на любом измеримом подмножестве из X и

,

(это свойство называется аддитивностью интеграла Лебега);

11) функции f и интегрируемы или неинтегрируемы одновременно, причём справедлива оценка

;

12) если , то ;

13) если почти всюду на X, то ;

14) если почти всюду, то ;

15) если , то почти всюду на X.

3. Абсолютная непрерывность и σ-аддитивность интеграла Лебега

Теорема 1 (абсолютная непрерывность интеграла Лебега).

Пусть – интегрируемая на множестве A функция. Тогда для всех существует , что для всякого измеримого множества такого, что .

Теорема 2 (σ-аддитивность интеграла Лебега).

Пусть f – измеримая функция по множеству A и пусть , – измеримые множества. Тогда f интегрируема по каждому и , причём ряд сходится абсолютно.

Теорема 3.Если , f интегрируема на каждом и ряд сходится, то функция f интегрируема на A и .