Показатели безотказности объектов с мгновенным восстановлением.

Допущение о мгновенном восстановлении работоспособности может быть принято только в том случае, когда время восстановления существенно меньше времени наработки на отказ.

Сущность модели восстанавливаемого объекта с мгновенным восстановлением заключается в следующем (рис. 3.5): в момент начала рабо­ты t = 0 объект работоспособен; проработав случайное время , объект переходит в неработоспособное состояние, т.е. в случайный момент време­ни возникает первый отказ; затем следует мгновенное и полное вос­становление работоспособности объекта; проработав случайное время , объект снова переходит в неработоспособное состояние, т.е. в случайный момент времени возникает второй отказ; снова следует мгно­венное и полное восстановление работоспособности объекта и т.д.

t

x

t-x

Рис. 3.5. Модель восстанавливаемого объекта с мгновенным восстановлением

Интервалы времени между отказами являются конкретными реализациями случайного времени между отказами. Случайная величина времени между отказами, которая характеризуется функцией распределения и плотностью распределения, выражения для которых соответственно имеют вид:

(3.22)

. (3.23)

Моменты времени возникновения 1, 2,…, i-го, …, m-го отказов:

образуют поток отказов, а так как восстановление происходит мгновенно, то эти же моменты образуют и поток восстановлений. Моменты времени являются случайными величинами и характеризуются функциями распределения

Функции распределения - это вероятности того, что первый, второй,…, -ый отказы произойдут за время , где - заданное время (наработка).

Процесс отказов (восстановлений) можно описать случайной величиной , равной числу отказов (восстановлений) за время (наработку) . Естественно, что принимает только целые неотрицательные значения.

Функция распределения дискретной случайной величины [2-5]

(3.24, а)

где - вероятность того, что в момент времени число отказов будет больше или равно числу m;

- вероятность того, что m-ый отказ произойдет в момент времени , который меньше t.

Так как события и образуют полную группу несовместимых событий, то , и вероятность возникновения числа отказов меньше m.

. (3.24, б).

Исходя из свойств функции распределения (3.24, а), вероятность возникновения ровно отказов в течение времени с учетом (3.24, б)

. (3.24,в)

В теории надежности принято случайную величину числа отказов характеризовать функцией восстановления или ведущей функцией потока, под которой понимается математической ожидание числа отказов (восстановлений) за время (наработку) t [2-5,15]

, (3.25)

где - символ математического ожидания.

Известно, что математическое ожидание дискретной случайной величины есть сумма произведений возможных значений случайной величины на вероятности их возникновения. Следовательно, функция восстановления может быть определена по формуле математического ожидания [2,5,15]

, (3.26)

где m - конкретные значения случайной величины числа отказов ;

- вероятности возникновения ровно m отказов, m=1,2,3,… .

Формула (3.26) с учетом (3.24, в) преобразуется к виду

.

Если раскрыть сумму в правой части последнего равенства и произвести приведение подобных членов, то будет иметь место следующее выражение

Следовательно, выражение для функции восстановления преобразуется к виду

(3.27)

Зная распределение случайной величины , можно, например, рассчитать на данный (планируемый) период вероятной число отказов, а, следовательно, и число необходимых запасных элементов в составе ЗИП.

Несмотря на то, что функция восстановления полностью характеризует поток отказов (восстановлений), ее использование ограничено только нормальным экспоненциальным распределением и гамма-распределением. Поэтому для описания безотказности восстанавливаемых объектов используются параметр потока отказов и средняя наработка на отказ .

Параметр потока отказов, или плотность отказов - отношение среднего числа отказов восстанавливаемого объекта за бесконечно малую наработку к значению этой наработки, т.е.

. (3.28)

После дифференцирования (3.27) для параметра потока отказов имеет место

, (3.29)

где - плотность распределения случайной величины .

Несмотря на некоторую cхожесть параметра потока отказов и интенсивности отказа , они как по определению, так и по существу различные, а именно:

интенсивность отказов – условная плотность вероятности возникновения отказа, определяемая при условии, что до рассматриваемого момента времени отказ не наступил;

параметр потока отказов – безусловная вероятность возникновения отказа за единицу времени.

Только для периода нормальной эксплуатации численные значения параметра отказов и интенсивности отказов равны, т.е. = .

Средняя наработка на отказ - отношение суммарной наработки восстанавливаемого объекта к математическому ожиданию числа его отказов в течение этой наработки.

Согласно этому определению средняя наработка на отказ

. (3.30)

С целью существенного упрощения изложения в дальнейшем рассматриваются потоки событий, удовлетворяющие свойствам: ординарно­сти, отсутствия последействия и стационарности.

Поток событий называют ординарным, если вероятность попадания на интервал времени двух и более событий пренебрежимо мало (стремится к нулю) при стремлении длины интервала к нулю. Как показывает опыт эксплуатации технических устройств, одновременное возник­новение двух и более отказов маловероятно.

Поток событий называется потоком без последействия, если вероятность попадания m событий на интервал времени не зависит от числа и моментов появления событий на других интервалах, не пересекаю­щихся с данным.

Если поток событий является ординарным и без последействия, то число событий, попадающих на интервал времени , распределено по закону редких явлений или закону Пуассона. Такой по­ток называют пуассоновским [2-5,18]. Для пуассоновского потока вероятность того, что случайная величина числа событий , попавших на интервал , выражается формулой Пуассона

, (3.31)

где a - параметр закона Пуассона (математическое ожидание числа событий, попадающих на интервал );

- символ факториала.

Параметр закона Пуассона определяется формулой [5,15,18]

,

где - интенсивность потока.

Принято считать, что пуассоновский поток отказов характерен для сложных нерезвированных объектов, состоящих из высоконадежных элементов, потоки отказов которых являются независимыми.

Для таких потоков вероятность безотказной работы на интервале [t₁,t₂] будет определяться формулой

. (3.32)

Если вероятность попадания m событий на интервал времени зависит только от числа m событий и длины интервала и не
зависит от начала интервала t, то такой поток называют стационарным.
Пуассоновский поток, удовлетворяющий условиям стационарности, назы­вается простейшим [2-5,18].

Для простейшего потока число событий, попадающих в произволь­ный интервал длиной , распределено по закону Пуассона (3.31) с пара­метром

. (3.33)

В свою очередь, распределение времени между событиями в про­стейшем потоке подчинено экспоненциальному закону с плотностью рас­пределения

(3.34)

Для простейшего потока отказов, когда = , справедливы следующие формулы [2-5]:

вероятность возникновения ровно отказов

(3.35)

вероятность возникновения не более отказов

; (3.36)

функция восстановления

; (3.37)

наработка на отказ

; (3.38)

вероятность безотказной работы, когда число отказов ,

. (3.39)

Оценка параметра потока отказов по статистической информации проводится для каждого интервала наработки по формуле

, (3.40, а)

где - число восстанавливаемых объектов, находящихся в эксплуатации;

- число отказов всех объектов на интервале .

Если оценка параметра потока отказов проводится по одному объекту, т.е. , то она характеризует число отказов объекта в единицу времени и определяется по формуле

. (3.40, б)

Оценка наработки на отказ определяется как отношение суммарной наработки восстанавливаемых объектов к суммарному числу отказов этих объектов:

, (3.41, а)

где - -я наработка -го объекта;

- число отказов -го объекта.

Для одного объекта оценка наработки на отказ проводится по формуле

, (3.41, б)

где - наработка на i-й отказ;

n - число отказов.

Пример 3.3. Для восстанавливаемого объекта, отказы-восстановления которого об­разуют простейший поток с параметром потока 1/ч, рассчитать вероятности возникновения одного, двух, …, пяти отказов и другие рассмотренные показатели безотказности для наработки ч.

Решение:

1. Наработка на отказ ч.

2. Функция восстановления отказ.

3. Вероятность безотказной работы

4. Вероятности возникновения одного, двух, ..., пяти отказов рассчитанных по формуле (3.35) равны соответственно:

5. Вероятность возникновения не более пяти отказов рассчитана по формуле (3.36) и равна

.

Параметры потока отказов мгновенно восстанавливаемых объектов определяются следующим образом.

В общем случае среднее количество отказов (замен) на интервале пропорционально числу находящихся под наблюдением объектов и продолжитель­ности интервала наработки :

,

где - количество отказов объектов из числа безотказ­но проработавших в течение интервала ; - коли­чество отказов объектов из числа уже отказавших ра­нее.

Очевидно, что

Для определения среднего количества отказов объек­тов из числа уже отказавших ранее рассматривается малый ин­тервал наработки , предшествующий t. В течение этого интервала отказало и заменено на новые объектов. Из них на интервале будут вновь за­менены объектов. Суммируя по всем от 0 до , получаем, что всего из числа уже отказавших (сме­ненных) до момента времени объектов на интервале вновь откажут

объектов.

Тогда общее среднее количество отказов на интервале на­работки составит

. (3.42)

При сокращении на уравнение (3.42) принимает вид

. (3.43)

Таким образом, параметр потока отказов связан с плотностью распределения наработки между отказами ин­тегральным уравнением Вольтерра второго рода с разно­стным ядром [2-5]. Это уравнение не всегда удается решить в конечном виде. Если наработка между отказами-восстановлениями имеет показательное распределение, то из уравнения (3.43) следует, что если , то .

В технических заданиях на проектируемые объекты часто используют среднее значение

,

где - технический ресурс или срок службы объекта.

Для ординарных безпоследействия (Пуассоновских) потоков отказов вероятность безотказной работы объекта на интервале (t₁ ,t₂) выражается следующим образом:

.

Если при плотность распределения наработки до отказа , то существует установившееся значение параметра потока отказов

, (3.44)

где - средняя наработка на отказ восстанавливаемо­го объекта (в рассматриваемом случае совпадает со сред­ней наработкой до отказа ).

В общем случае средняя наработка на отказ оценивается как от­ношение наработки восстанавливаемого объекта к мате­матическому ожиданию числа его отказов в течение этой наработки. Часто используется в качестве самостоя­тельного показателя надежности. Если наработка выра­жается в единицах времени, то может применяться тер­мин «среднее время безотказной работы».

ω(t) (t)

Рис 3.6. Параметр потока отказов объекта при нормальном распределении ( , )

При нормальном распределении наработки между отказами параметр потока отказов

. (3.45)

где , - среднее значение и среднее квадратическое отклонение наработки между отказами.

На рис. 3.6 показано, что значения параметра потока от­казов совершают ряд колебаний, прежде чем станут рав­ными . Продолжительность этого колебательного процесса обратно пропорциональна среднему квадратическому отклонению наработки между отказами . Чем меньше , тем определеннее отказы группируются около средних значений и тем большая суммарная наработка должна накопиться, прежде чем сравняют условия по­явления отказов. При = 0 отказы происходят регу­лярно и установившееся значение вообще не дости­гается.

Таким образом, если рассматриваемый интервал нара­ботки выбран достаточно далеко от начала эксплуатации объектов данного типа, то параметр потока отказов мож­но считать стационарным.