Показатели безотказности невосстанавливаемых объектов
Определение показателей безотказности невосстанавливаемых объектов проводится для простейшей модели невосстанавливаемого объекта: в момент начала работы объект работоспособен; в случайный момент времени объект переходит в неработоспособное состояние, т.е. в этот момент происходит отказ. Для такой модели объекта его надежность полностью определяется безотказностью.
Случайную величину времени (наработку) до отказа невосстанавливаемых объектов в научно-технической литературе часто называют временем жизни объекта. Так как невозможно указать такие моменты времени, в которые отказ не был бы возможен, то наработка до отказа есть непрерывная случайная величина. Вероятностные характеристики случайной величины наработки до отказа используются в качестве показателей безотказности невосстанавливаемых объектов.
Вероятность события называется вероятностью отказа за время (наработку) (или функцией «ненадежности» объекта).
Вероятность отказа является функцией распределения случайной величины времени (наработки) до отказа и по определению имеет вид
, (3.1)
где Вер( ) – символ вероятности события, записанного в круглых скобках;
- событие, заключающееся в том, что случайное время (наработка) до отказа не превысит заданное .
Так как неработоспособное и работоспособное состояния образуют полную группу несовместных событий, то вероятность безотказной работы за время (наработку) , или функция надежности
или . (3.2)
Отметим, что вероятность безотказной работы имеет смысл дополнительной функции распределения случайной величины . Обозначение вероятности безотказной работы символом « » является более информативным, так как индекс « » определяет случайную величину, а аргумент - заданную (детерминированную) наработку. В научно-технической литературе и нормативно-технической документации функция именуется функцией надежности или вероятностью безотказной работы и обозначается . Исходя из этого, в дальнейшем будет использовано обозначение вероятности безотказной работы или функции надежности .
Под вероятностью безотказной работы понимают вероятность того, что в пределах заданного времени (заданной наработки) отказ не произойдет. Типичные зависимости вероятности безотказной работы и вероятности отказа приведены на рис. 3.2.
Основные свойства вероятности безотказной работы :
1) , так как есть вероятность;
2) , т.е. вероятность безотказной работы определяется только для объектов, исправных в начальный момент времени их функционирования, и с этой точки зрения она является условной вероятностью (условием является исправное состояние в начальный момент времени);
3)
|
|
|
|
|
|
Оценка вероятности безотказной работы определяется по статистической информации об отказах
, (3.3)
где - число объектов, работоспособных в начальный момент
времени ( );
- число объектов, сохранивших работоспособное состояние
за заданную наработку ;
- число объектов, отказавших за заданную наработку ;
- символ оценки.
Точность определения оценки вероятности безотказной работы тем выше, чем больше объектов находится под наблюдением. При значительном числе объектов оценка статистической вероятности стремится к теоретической вероятности .
Несмотря на то, что любая из функций и полностью характеризуют случайную величину , в ряде случаев более удобными, простыми и наглядными оказываются некоторые дополнительные функциональные и числовые характеристики.
Так, весьма полезным вспомогательным инструментом исследования надежности является плотность распределения наработки до отказа, или дифференциальный закон распределения случайной величины :
или . (3.4)
Основные свойства плотности распределения наработки до отказа:
1) функция , так как она и есть производная от монотонно возрастающей функции ;
2) ;
3) Размерность , например, 1/ч.
Кроме указанных показателей в теории надежности и в практике эксплуатации в качестве единичных показателей безотказности невосстанавливаемых объектов используются числовые характеристики распределения наработки до отказа: средняя наработка до отказа ; интенсивность отказов ; гамма-процентная наработка до отказа .
Средняя наработка до отказа определяется как математическое ожидание наработки объекта до отказа, т.е.
, (3.5)
где - символ математического ожидания.
Выражение (3.4) с учетом (3.1) и (3.3) преобразуется к виду
.
Если обозначить и , следовательно, и , то полученный интеграл может быть взят по частям :
.
Так как , то
.(3.6)
Из анализа формулы (3.6) и графика (см. рис. 3.2) следует, что средняя наработка до отказа численно равна площади под кривой на интервале .
Оценка средней наработки до отказа (3.6) по статистическим данным зависит от плана испытаний и закона распределения наработки до отказа [1-5].
Если испытания ведутся до отказа всех объектов, то оценка средней наработки до отказа определяется по формуле
, (3.7)
где - наработка до отказа i-го объекта.
В практике эксплуатации, как правило, известны данные об отказах за определенное время , когда из объектов, имеющихся к началу эксплуатации, откажет только n. Тогда для оценки средней наработки до отказа для случая, когда частота возникновения отказов постоянна, следует пользоваться соотношением
.
Интенсивностью отказов называется условная плотность вероятности возникновения отказа объекта в момент времени (наработки) , определяемая при условии, что до рассматриваемого момента времени отказ не возник.
На рис.3.3 показана плотность распределения наработки на отказ для нормального закона распределения, на котором отмечен заданный момент времени t и элементарное приращение времени (наработки) , примыкающее к моменту времени t. Элементарное значение безусловной вероятности отказа на этом приращении времени в соответствии с (3.4) равно , как это показано на рис.3.3. Элементарное значение условной вероятности отказа на этом же отрезке, определяемое при условии, что в момент времени отказ не возник, равно . Из теории вероятностей известно (2.5), что безусловная вероятность равна произведению условной вероятности на вероятность условия , то есть
. (3.11)
|
Сокращения левой и правой частей полученного выражения (3.11) на дает уравнение связи интенсивности отказов с (безусловной) плотностью вероятности отказа
, (3.12)
где - отношение Миллса [2,18].
Интенсивность отказов есть условная плотность вероятности возникновения отказа невосстанавливаемого объекта, определяемая для рассматриваемого момента времени dt при условии, что до этого момента отказ не возник. Подстановка (3.2) и (3.4) в (3.12) приводит к выражению
,
Преобразование которого дает уравнение связи вероятности безотказной работы объекта с интенсивностью отказа :
. (3.13)
Интегрирование полученного уравнения (3.13) в пределах от 0 до , приводит к результату ,
где - аргумент (по смыслу наработка), откуда
.
Так как и , то , то после интегрирования получаем основную формулу надежности для невосстанавливаемых объектов
. (3.14)
Интенсивность отказа характеризует не интервальную, а локальную или мгновенную безотказность объекта в момент времени и является показателем безотказности, зависящим от времени (наработки) .
Экспериментально установлено, что практически для всех технических объектов график зависимости интенсивности отказов от наработки имеет вид, представленный на рис. 3.4.
|
Рис. 3.4. Зависимость интенсивности отказов от времени (наработки)
Интервал времени (наработка) соответствует периоду приработки, на котором выявляются, в основном, конструктивные и производственные отказы, чаще всего относящиеся к внезапным. По мере приработки и устранения отказов интенсивность отказов уменьшается. Продолжительность этого периода зависит от вида объекта и интенсивности отказов его элементов. Продолжительность этого периода может быть уменьшена в результате «тренировки» объекта в заводских условиях.
Интервал времени (наработки) соответствует периоду нормальной эксплуатации объекта. На этом участке интенсивность отказов практически постоянна. Отказы этого периода относятся как к внезапным, так и к постепенным. Значение интенсивности отказов здесь может быть снижено за счет своевременного и качественного процесса контроля, отработки и технического обслуживания. Следует стремиться, чтобы объект использовался по назначению только в период нормальной эксплуатации.
Интервал времени (наработка) характеризуется тем, что из-за усиления процессов старения и износа интенсивность отказов возрастает. Этот участок называется участком старения.
По статистическим данным оценка интенсивности отказов может быть определена из соотношения
, (3.15)
где - число отказавших объектов на интервале времени (наработки) ;
, - число объектов, работоспособных соответственно к моментам времени и .
Безотказность объектов характеризует надежность невосстанавливаемых объектов периода нормальной эксплуатации и описывается экспоненциальным законом распределения времени (наработки) .
Для экспоненциального закона функциональные и числовые характеристики имеют вид (2.23), (2.24), (2.25):
вероятность безотказной работы за время (наработку)
. (3.16)
вероятность отказа за время (наработку)
; (3.17)
плотность распределения наработки до отказа
; (3.18)
средняя наработка до отказа
, (3.19)
Что совпадает с выражением (2.13) для модели внезапных отказов.
Из (3.16) с учетом (3.19) следует еще одна формула для вероятности безотказной работы
, (3.20)
которая также совпадает с формулой (2.21) для модели внезапных отказов.
Гамма-процентной наработкой до отказа называется наработка, в течение которой отказ объекта не возникнет с вероятностью , выраженной в процентах.
Для произвольного закона распределения времени (наработки) до отказа гамма-процентная наработка до отказа может быть получена двумя способами:
численным интегрированием уравнения (3.14) при условиях: верхний предел интегрирования равен , а вероятность безотказной работы - ;
графически (см. рис. 3.2): входом в график является вероятность , а выходом – гамма-процентная наработка до отказа .
Для экспоненциального закона распределения гамма-процентная наработка до отказа может быть получена из (3.14) при условиях: и , т.е. , или окончательно
. (3.21)
Пример 3.1. В эксплуатации находятся 50 однотипных невосстанавливаемых объектов. В течение одного года в неработоспособное состояние вследствие отказов перешли 30 объектов. Рассчитать оценки показателей безотказности.
Решение:
1. Число работоспособных объектов ; число неработоспособных объектов ; интервал времени T = 1 год = 24 365 = 8760 часов.
2. Наработки до отказа всех объектов вносятся в таблицу 3.1 (в предположении, что объекты используются на участке нормальной эксплуатации и интенсивность (частота) отказов постоянна ).
Таблица 3.1.
Номер объекта i | … | |||||
Наработка до отказа , ч. | … |
3. Расчет оценок показателей безотказности в соответствии с формулами (3.6), (3.12) и (3.20) производиться следующим образом:
вероятности безотказной работы за один год
;
средней наработки до отказа
ч.
интенсивности отказов
1/ч.
Пример 3.2. Рассчитать показатели безотказности электродвигателя в течение наработки t=500 ч, для которого интенсивность отказов 1/ч.
Решение:
1. Средняя наработка до отказа
ч.
2. Вероятность безотказный работы в течение наработки
.
3. Гамма-процентная наработка до отказа для уровня
ч.
Дата добавления: 2016-09-26; просмотров: 4915;