Функция готовности объектов с конечным временем восстановления

Время восстановления зависит как от свойства надежности самого объекта, так и характеристик обслуживающего персонала, наличия ЗИП, характеристик оснащенности средствами контроля и диагностики организационно-технической системы, в состав которой входит объект и т.д. Следовательно, при формировании показателей надежности объектов с конечным временем восстановления необходимо учитывать как показатели надежности объектов, так и показатели свойств указанной организационно-технической системы.

В общем случае модель восстанавливаемого объекта с конечным случайным временем восстановления формируется следующим образом: в момент времени объект работоспособен, проработав случайное время , объект переходит в неработоспособное состояние, то есть возникает первый отказ, затем в течение случайного времени происходит восстановление объекта, в результате чего он полностью восстанавливается до состояния, в котором он находился в момент . Далее, проработав некоторое случайное время , объект второй раз переходит в неработоспособное состояние, то есть в случайный момент времени возникает второй отказ, затем за случайное время объект вновь восстанавливается до первоначального состояния.

При этом предполагается, что контроль работоспособности объекта является непрерывным и полностью достоверным.

Описанная выше модель функционирования восстанавливаемого объекта с конечным временем восстановления представлена на рис. 3.7.

Рис. 3.7 Модель функционирования восстанавливаемого объекта с конечным временем восстановления.

Если объект имеет экспоненциальное распределение времени безотказной работы, а знание какой-либо предыстории объекта не представляет большой ценности для предсказания ее поведения в будущем, то представленный на рис. 3.7 процесс может быть описан марковским процессом [2,18,21]. В этом случае случайные величины времени между отказами и времени восстановления являются независимыми случайными величинами, распределенными по экспоненциальным законам, то есть потоки отказов и восстановлений являются простейшими потоками. При этом поток отказов характеризуется параметром потока (интенсивностью) отказов или наработкой на отказ , а поток восстановлений – параметром потока (интенсивностью) восстановления или средним временем восстановления .

Для модели (см. рис. 3.7) функционирования восстанавливаемого объекта с конечным временем восстановления в качестве показателя надежности используются функция готовности или коэффициент готовности .

Функция готовности представляет собой вероятность того, что объект окажется в работоспособном состоянии в произвольный момент времени (наработки) .

Рис. 3.8. Граф состояний восстанавливаемого объекта.

Для модели, представленной на рис.3.7, граф состояний восстанавливаемого объекта показан на рис.3.8. Этот граф имеет два возможных состояния: работоспособное с вероятностью пребывания в нем и неработоспособное с вероятностью пребывания в нем .При появлении отказа объект из состояния переходит в состояние с интенсивностью . После завершения восстановления объект возвращается в работоспособное состояние с интенсивностью восстановления .

Граф состояний на рис. 3.8 описывается системой дифференциальных уравнений Колмогорова [2-9, 17-22]:

(3.46)

Так как состояния и образуют полную группу несовместимых событий, то нормирующим условием для системы (3.46) будет равенство

, (3.47)

что позволяет уменьшить на единицу число уравнений (3.46).

Начальные условия для дифференциальных уравнений (3.46) составляют

при и . (3.48)

Решение первого из уравнений (3.46) с учетом нормирующего условия (3.47) и начальных условий (3.48) позволяет получить выражение для функции готовности . Так, из (3.47) следует . Подстановка этого выражения в первое уравнение системы (3.46) дает следующий результат

. (3.49)

Полученное выражение (3.49) представляет собой неоднородное дифференциальное уравнение с постоянной правой частью.

Общее решение этого уравнения (3.49) равно сумме его однородного и неоднородного решений.

Чтобы найти решение неоднородного уравнения при условии существования предельной вероятности , необходимо приравнять нулю производную левой части выражения (3.49), то есть

,

откуда

. (3.50)

Решение однородного уравнения отыскивается из исходного уравнения (3.49) путем приравнивания нулю его правой части

откуда

(3.51)

где C – постоянная интегрирования.

Постоянная интегрирования C может быть получена из общего решения уравнения (3.51) с учетом начальных условий (3.48).

Так общее решение уравнения (3.49) будет равно

, (3.52)

которое при преобразуется к виду

,

откуда

. (3.53)

Подстановка (3.53) в формулу (3.52) дает окончательное выражение для функции готовности, которое определяется следующим образом

. (3.54)

С учетом того, что среднее время безотказной работы объекта , а среднее время восстановления , то функция готовности (3.54) примет вид

(3.55)

В формулах (3.54) и (3.55) интенсивность отказов и наработка на отказ являются показателями безотказности, а интенсивность восстановления и среднее время восстановления являются показателями ремонтопригодности. Следовательно, функция готовности (3.54), (3.55) определяется показателями двух свойств надежности [1-5]: безотказности и ремонтопригодности, являясь комплексным показателем надежности ОТС.

Анализ функций (3.54), (3.55) показывает, что при функция готовности равна единице . Предельное значение функции готовности (при ) называется коэффициентом готовности, то есть

(3.56)

При , что соответствует мгновенному восстановлению, первое слагаемое правой части выражения (3.55) стремится к единице, а второе слагаемое стремится к нулю, следовательно, , то есть объект, будет постоянно находиться в работоспособном состоянии. Отсюда следует, что одним из главных путей повышения надежности восстанавливаемых объектов является сокращение среднего времени восстановления , то есть улучшение показателя ремонтопригодности в ОТС.

При , что соответствует низким значениям показателей ремонтопригодности или слабой подготовке персонала, из формул (3.54), (3.55) следует, что значение функции готовности будет определяться только функцией надежности невосстанавливаемого объекта.

, где .

Графики функции готовности при различных значениях показателей надежности и восстанавливаемости приведены на рис. 3.9.

Рис. 3.9. Графики функции готовности

Как правило, на практике функция готовности стремится к стационарному значению, то есть к коэффициенту готовности за наработку, меньшую наработке на отказ, что позволяет использовать его в качестве показателя надежности восстанавливаемых объектов [1,2,4,6].