Исследование функций и построение графиков

Полное исследование функции для построения ее графика включает следующие пункты (не обязательно именно в этом порядке).

1) Область определения функции (ООФ) и область ее значений (ОЗФ)

Если область определения функции не задана специально,
то считают, что она совпадает с областью допустимых значений ее аргумента, т. е. с множеством всех точек х, для которых выполнима операция f. При нахождении ООФ используют ООФ элементарных функций , , , и др.

Область значений функции находят только в случаях, когда ее можно сразу указать, опираясь на свойства элементарных функций, например, для функции , очевидно, .

2) Четность функции, ее периодичность

Для установления четности (нечетности) функции , имеющей симметричную область определения, проверяют справедливость равенств ( ) для всех x Î ООФ.

В случае четности или нечетности функции исследование ее поведения и построение графика можно проводить только для , а затем достроить график, используя симметрию: для четной функции график симметричен относительно оси OY, а для нечетной – относительно начала координат.

Для установления периодичности функции проверяют справедливость равенства для ООФ, где Т определяется видом функции. В случае периодической функции исследование проводят для одного промежутка периодичности.

3) Непрерывность функции, точки разрыва, вертикальные асимптоты

Для определения промежутков непрерывности функции используют непрерывность основных элементарных функций. В точках, "подозритель-ных" на разрыв (отдельных точек, не входящих в ООФ), проверяют выпол-нение условий непрерывности. Если функция терпит разрыв в точке х₀,
то определют тип разрыва.

Если функция имеет бесконечный разрыв в некоторой точке х₀, то прямая х = х₀ является вертикальной асимптотой графика функции. Если только один из односторонних пределов при или является бесконечным, то асимптота называется односторонней.

Если функция определена не на всей числовой оси, то необходимо вычислить односторонние пределы функции в точках, ограничивающих промежутки ООФ. Если односторонний предел функции в точке а, ограни-чивающей промежуток ООФ, бесконечен, то х = а является односторонней вертикальной асимптотой графика функции. Например, если ООФ: , то нужно найти ; если этот предел окажется бесконечным, то х = а является односторонней вертикальной асимптотой графика функции.

4) Промежутки монотонности и экстремумы

Для определения промежутков монотонности функции
используют достаточный признак монотонности.

Достаточный признак монотонности дифференцируемой функции:

если на интервале х Î (а, b) производная сохраняет знак,
то функция сохраняет монотонность на этом интервале, а именно: если возрастает, если убывает.

Для установления точек экстремумов функции используют необходимый и достаточные признаки существования экстремума.

Необходимое условие существования экстремума функции: если непрерывная функция имеет экстремум в точке х₀, то ее производная в этой точке равна нулю или не существует.

Точки, принадлежащие ООФ, в которых производная равна нулю или не существует, называют критическими точками функции по ее первой производной (точками, "подозрительными на экстремум").

Первый достаточный признак существования экстремума: если при переходе через критическую точку х₀ (слева направо) производная изменяет свой знак, то в точке х₀ есть экстремум причем это максимум, если знак меняется с плюса на минус, и это минимум, если знак меняется с минуса на плюс. Если при переходе через критическую точку х₀ производная не изменяет свой знак, то в точке х₀ нет экстремума функции .

Второй достаточный признак существования экстремума: если – дважды дифференцируемая функция в точке х₀ и ,
тогда: если , то х₀ – точка минимума функции, а если , то х₀ – точка максимума.

Для нахождения точек экстремумов функции сначала находят критические точки по первой производной. После этого проверяют выполнение в них достаточных условий существования экстремума функции.

5) Промежутки выпуклости, вогнутости графика и точки перегиба

Дуга кривой L называется выпуклой, если все ее точки расположены не выше касательной, проведенной в любой точке этой дуги (рис. 27),
и называется вогнутой, если все ее точки расположены не ниже касательной, проведенной в любой точке дуги кривой.

Рис. 27 Точки, принадлежащие кривой, и отделяющие участки выпуклости от участков вогнутости, называются точками перегиба кривой (рис. 27).

Достаточное условие выпуклости, вогнутости графика функции:если функция является дважды дифференцируемой и ее вторая производная сохраняет знак при всех x Î (a; b), то график функции имеет постоянное направление выпуклости на этом интервале: при < 0 – выпуклость вверх, при > 0 – вогнутость (выпуклость вниз).

Необходимое условие для точки перегиба: если х₀ – абсцисса точки перегиба графика функции , то ее вторая производная в этой точке равна нулю или не существует.

Точки, принадлежащие графику функции , в которых или не существует, называются критическими точками функции
по ее второй производной (точками, "подозрительными на перегиб").

Достаточное условие для точек перегиба: если вторая производная при переходе через точку х₀, подозрительную на перегиб, изменяет знак, то точка графика с абсциссой х₀ является точкой перегиба. Если не изменяет знак при переходе через точку х₀, то перегиба нет.

При нахождении промежутков выпуклости, вогнутости графика функции сначала находят критические точки по второй производной, после этого выделяют промежутки знакопостоянства второй
производной на ООФ: если , то кривая вогнутая, а если , то кривая выпуклая. Точки перегиба определяют, используя достаточные условия перегиба.

6) Наклонные и горизонтальные асимптоты

Рис. 28

Асимптотой кривой, имеющей бесконечную ветвь, называется прямая, расстояние
до которой от текущей точки М кривой стремится к нулю при удалении точки М от начала координат (рис. 28).

Если график функции имеет наклонную асимптоту с уравнением , то параметры k и b в уравнении асимптоты можно найти по формулам:

(26)

. (27)

Если хотя бы один из этих пределов является бесконечным или
не существует, то наклонных асимптот нет. В случае, когда k = 0, график имеет горизонтальную асимптоту с уравнением y = b.

В некоторых случаях (как правило, если f (x) выражена через показательную или логарифмическую функцию), график может иметь асимптоты только при или только при .

Иногда ветви графика при и при имеют
разные асимптоты.

7) Точки пересечения графика с осями координат или другие
дополнительные точки графика

Дополнительные точки графика находят в случаях, когда недостаточно информации для выбора масштаба по осям координат, т. е. когда на некотором промежутке ООФ нет ни точек экстремумов, ни точек перегибов,
ни точек пересечения графика с осями координат.

Примерный вариант и образец выполнения контрольной работы 4

Задача 1. Найти производную :

а) ; б) ; в)

Задача 2. Дана функция и значение х₀ = 0. Найти уравнения касательной и нормали к графику функции в точке с абсциссой х₀. Построить графики функции, касательной и нормали в окрестности точки (х₀, f (х₀)).

Задача 3. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя:

а) б)

Задача 4. Провести полное исследование функции и построить ее график:

а) б)

Решение задачи 1а

Решение задачи 2

Найдем ординату точки касания: .

Для вычисления угловых коэффициентов касательной и нормали
найдем производную :

.

Вычислим угловой коэффициент касательной: Тогда угловой коэффициент нормали: .

Запишем уравнение касательной в точке М(0; 2) по формуле (23)
и приведем его к виду общего уравнения прямой:

.

Запишем уравнение нормали по формуле (24) и аналогично упростим его:

Для построения графика функции в окрестности точки (х₀; у₀) вычислим значения функции в точках, близких к х₀ = 0:

,

.

На рис. 29 построены участок графика функции , касательная и нор-маль в окрестности точки М(0; 2).

Ответы: и . Графики на рис. 29.

Решение задачи 3а