Лекция № 2 Тема «Арифметические основы ЭВМ»

План лекции

1. Понятие системы счисления.

2. Двоичная система счисления.

3. Восьмеричная система счисления.

4. Шестнадцатеричная система счисления.

5. Перевод целого числа из десятичного счисления в другую систему счисления.

6. Перевод целого числа из двоичного счисления в десятичное счисление.

7. Арифметические операции в позиционной системе счисления.

8. Перевод между основаниями, составляющими степень двойки.

Понятие системы счисления

Системой счисления называется принятый способ записи чисел и сопоставления этим записям реальных значений. Символы, при помощи записывается число, называются цифрами.

Все системы счисления можно разделить на два класса: позиционные и непозиционные.

В непозиционных системах счисления вес каждой цифры (т.е. тот вклад, который она вносит в величину числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе XXXII(тридцать два) вес цифры X в любой позиции равен просто десяти.

Системы счисления, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей число, называются позиционными.

Во всех вычислительных машинах применяется позиционная система счисления.

В привычной нам системе счисления одна и та же цифра обозначает разные значения, в зависимости от того на каком месте она стоит. Например, в числе 777 первая семерка обозначает 7 сотен, вторая –7 десятков, а третья 7 единиц. Это число можно представить в следующем виде 777=7*100+7*10+7.

В любой позиционной системе счисления число N_q можно представить как сумму степеней основания q, умноженных на соответствующие коэффициенты 0<=a_i<=q-1, являющиеся цифрами данного числа:

N_q=a_nqⁿ+a_n-1q^n-1+…+a₁q₁+a₀q⁰+a_-1д.^-1+…+a_-mq^—m (1)

n, m – произвольные целые числа

сокращенная запись числа будет иметь вид:

N_q=a_na_n-1,…,a₁a₀a_-1a_-m (2)

Например, число 7309, 204 в десятичной системе счисления можно записать как

7309,204₁₀=7*10³+3*10²+0*10¹+9*10+2*10^-1+0*10^-2+4*10^-3

откуда видно, что соответствующие коэффициенты изображают данное число в виде сокращенной записи.

Принимая за основание системы любые целые положительные числа: два, три, пять, восемь, десять, шестнадцать – можно получить двоичную, троичную, пятеричную, восьмеричную, десятичную, шестнадцатеричную системы счисления.

Десятичная система счисления - лишь одна из немногих возможных систем счисления. Она привычна для нас, однако не является удобной и рациональной для применения в вычислительных и логических устройствах.

Вся информация, обрабатываемая современными ЭВМ, хранится в них в двоичном коде.