Объединенный закон газового состояния (формула Клапейрона).

При

. (II.4)

Если по условию задачи газ находится при одних каких-либо условиях, то его сравнивают с состоянием данного газа при нормальных условиях:

Па, К, м³ (объем 1 моль любого газа при нормальных условиях).

Уравнение Клапейрона – Менделеева(универсальное уравнение газового состояния)

, (II.5)

где – масса газа; - молярная масса газа;

R = 8,31 Дж/(моль·К) – постоянная для всех газов величина, называемая молярной газовой постоянной (или универсальной газовой постоянной).

Закон Дальтона. Если в сосуде находится смесь нескольких газов, не вступающих друг с другом в химические реакции, то давление смеси газов равно сумме давлений, производимых каждым газом в отдельности, если бы он один занимал весь сосуд (парциальные давления)

, (II.6)

где –парциальные давления компонент смеси.

ЗАДАЧА № II.1На диаграмме показан замкнутый процесс 1–2–3–1. Изобразите этот процесс на и диаграммах.

Рисунок 17 – Диаграмма

Ответ:Процесс 1–2 изохорический, так как в нем давление прямо пропорционально температуре; процесс 2–3 – изотермический; процесс 3–1 – изобарический. Данный цикл на диаграмме и диаграмме будет выглядеть так:

ЗАДАЧА № II.2При нагревании газа получена зависимость давления от температуры (рис.20). Сжимается или расширяется газ во время нагревания ?

Рисунок 20 - Диаграмма Рисунок 21 – Диаграмма

Ответ:Газ расширяется. Если провести изохоры через точки 1 и 2 (рис.21), то легко убедиться, что .

ЗАДАЧА № II.3На рис.22 изображены две изобары. Какая из изобар соответствует большей массе газа ?

Ответ:Первая, так как при одинаковых давлении и температуре большая масса занимает больший объём.

Рисунок 22 – Две изобары

Ответ:Первая, так как при одинаковых давлении и температуре большая масса занимает больший объём.

ЗАДАЧА № II.4 Под колоколом воздушного насоса стоит банка с водой, в ней пузырек. Как изменяется объем пузырька при откачивании воздуха? Температура постоянная.

Ответ: Объем пузырька увеличивается, т.к. по закону Бойля-Мариотта

, где меньше за счет откачки воздуха при постоянном гидростатическом давлении.

ЗАДАЧА № II.5 Две колбы с воздухом при нормальном давлении и различные по объему закупоривают и нагревают в парах кипящей воды до 100⁰ С. Одинаковым ли будет в них давление воздуха после нагревания?

Ответ:Давление будет одинаковым, т.к. в обеих колбах плотности воздуха равны и не изменяются при нагревании . Из уравнения

следует, что приращение независит от объема колбы.

ЗАДАЧА № II.6 В газоразрядной плазме (искра, электрическая дуга), состоящей из электронов, ионов, нейтральных атомов и молекул, в разных компонентах разная температура. Почему это возможно?

Ответ: При электрическом разряде процессы протекают очень быстро (меньше времени релаксации), поэтому общая температура не успевает установиться.

ЗАДАЧА № II.7 Найти молярную массу воздуха, считая, что он состоит по массе из одной части кислорода и трех частей азота.

Дано: кг/моль;

кг/моль;

.

Найти:

Решение

Воздух, являясь смесью идеальных газов, тоже представляет идеальный газ, и к нему можно применить уравнение Клапейрона-Менделеева

. (1)

Для каждой компоненты смеси кислорода и азота запишем соответствующее уравнение:

, (2)

, (3)

где и – парциальные давления кислорода и азота.

По закону Дальтона давление воздуха Складывая (2) и (3), получим

(4)

Сравнивая (1) и (4) и учитывая, что ,имеем

, откуда

. (5)

Подставляя в (5) , найдем молярную массу воздуха

,

Подставляя численные значения, получим кг/моль.

ЗАДАЧА № II.8Как изменится давление идеального газа, если его объем и температуру уменьшить в два раза?

Решение

Уравнение Клапейрона – Менделеева приводит к следующему выражению для давления газа

.

Если объем и температуру газа уменьшить вдвое, то давление газа, как видно из уравнения, не изменится.

ЗАДАЧА № II.9Объем пузырька воздуха по мере всплывания его со дна озера на поверхность увеличивается в три раза. Какова глубина озера?

Дано: ;

Па;

кг/м³.

Найти:

Решение

Считаем, что температура воды в озере на любой глубине постоянна. Тогда по закону Бойля – Мариотта

,

где , – давление воздуха в пузырьке у дна и поверхности озера соответственно;

, – объемы пузырьков у дна и поверхности озера.

Очевидно, что давление воздуха в пузырьке у поверхности озера равно атмосферному давлению , т.е. . Тогда , откуда .

Следовательно, увеличение давления у дна озера будет

Как известно из гидростатики,

где - плотность воды;

– глубина озера.

Приравнивая правые части двух последних уравнений, получим

откуда

; м.

ЗАДАЧА № II.10Сосуд вместимостью 20 л, заполненный воздухом при давлении 0,4 МПа, соединяют с сосудом, из которого воздух удалён. При этом давление в обоих сосудах становится одинаковым и равным 1,0·10⁵ Па. Определить вместимость второго сосуда. Процесс изотермический.

Дано: МПа Па;

л м³;

Па.

Найти:

Решение

Изотермический процесс протекает при постоянной температуре и подчиняется закону Бойля – Мариотта, для которого справедливо уравнение (II.1), или . Но после присоединения второго сосуда газ занял объём , следовательно, , или

, откуда ; Подстановка численных данных

дает м³ . Вместимость второго сосуда л.

ЗАДАЧА № II.11Изменение состояния идеального газа описывается приведенным графиком (рис.23). Как изменяется температура при переходе газа из состояния 1 в состояние 3?

Рисунок 23 - График зависимости давления от объёма

Решение

При переходе газа из состояния 1 в состояние 2 ( - изохорный процесс), давление газа увеличилось в 2 раза. Следовательно, температура возросла вдвое. При переходе из состояния 2 в состояние 3 ( – изобарный процесс), объем газа увеличился в 3 раза. Это возможно при возрастании температуры еще в 3 раза. Таким образом, переходу (1-3) соответствует повышение абсолютной температуры в 6 раз.

ЗАДАЧА № II.12 При какой температуре находился газ, если в результате изобарного нагревания на 1К его объём увеличился на 3,5·10^-3 от первоначального?

Дано: К;

;

.

Найти:

Решение

В результате нагревания температура газа повысилась на 1К, следовательно, . При этом объём газа увеличился от V₁ до V₂, т.е. . Так как процесс протекает при постоянном давлении р₂=р₁, то уравнение состояния преобразуется , или

. Решение этого уравнения относительно Т₁ дает

.

Подстановкой численных значений получим:

К.

ЗАДАЧА № II.13В баллоне находится идеальный газ. Когда часть газа выпустили, температура газа в баллоне уменьшилась в 3 раза, а давление – в 4 раза. Какую часть газа (в процентах) выпустили?

Дано: ;

;

.

Найти:

Решение

Для двух описанных ситуаций уравнение состояния имеют вид

(1)

и , (2)

где – начальная масса газа, - выпущенная из баллона масса газа. Объём баллона V не изменялся. Выразим объем из (1) уравнения и подставим в (2), в результате получим . Сократив одинаковые сомножители и поделив обе части уравнения на и на , получим , откуда . Следовательно, из баллона выпустили 25% газа.

ЗАДАЧА № II.14На рис.24 показаны две изохоры для газа одной и той же массы. Углы наклона изохор к оси абсцисс равны и . Как соотносятся эти объёмы газа?

Рисунок 24 - График двух изохор для газа одной и той же массы

Решение

Уравнения состояния позволяют записать для двух разных объёмов взаимосвязь параметров (1) и (2)

При некоторой температуре из графика (см. рис.24) определим, что , а . Тогда уравнения (1) и (2) примут вид

, (3)

. (4)

Поделив уравнение (3) на (4), получим искомое соотношение объемов

.

ЗАДАЧА № II.15Давление воздуха внутри бутылки, закрытой пробкой равно 0,1 МПа при температуре 7 ⁰С. На сколько градусов нужно нагреть воздух в бутылке, чтобы пробка вылетела? Без нагревания пробку можно вынуть, прикладывая к ней силу 30 Н. Поперечное сечение пробки 2 см².

Дано: см² м²;

H;

C; К;

МПа Па.

Найти:

Решение

Чтобы пробка вылетела из бутылки, необходимо, чтобы давление воздуха в бутылке равнялось . При нагревании объём не изменяется. По закону Шарля , откуда , следовательно,

. Подстановка численных значений дает К.

Для того чтобы пробка вылетела из бутылки, необходимо воздух в ней нагреть на К.

ЗАДАЧА № II.16Начертите график зависимости плотности газа от температуры при изобарическом процессе и зависимости плотности газа от давления при изотермическом процессе, .

Решение

Согласно уравнению Клапейрона – Менделеева . Плотность газа , откуда . Если , то , где .

Следовательно, зависимость имеет вид гиперболы (рис.25). Если , то , где , следовательно, плотность изменяется по линейному закону (рис.26).

Рисунок 25 - Зависимость плотности Рисунок 26 - Зависимость плотности

от температуры от давления

ЗАДАЧА № II.17Имеется смесь из 4,4·10²¹ молекул кислорода, 0,9·10²¹ молекул углекислоты и 2,1·10 ²¹ молекул азота. Найти давление этой смеси на стенки сосуда емкостью 2 л, если сосуд нагрет до 20⁰С, и молекулярную массу смеси.

Дано: ; кг/моль;

; кг/моль;

; кг/моль;

C; K; м³.

Найти:

Решение

Из уравнения Клапейрона - Менделеева выразим давление

. (1)

Парциальные давления кислорода, углекислоты и азота равны

(2)

где и – масса и молярная масса отдельного газа. Выразим массу газа

где – число Авогадро и подставим в (2)

.

Давление смеси газов можно рассчитать по закону Дальтона (3)

, (4)

где и – масса и молярная масса смеси.

Подстановка численных значений дает

Па. кПа.

Приравняв правые части уравнений (2) и (4), получим

, откуда

. (5)

Массу газа подставим в (5) и получим

, отсюда

определим молярную массу смеси

кг/моль.

§II.1.2ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО - КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ

Все вещества состоят из атомов и молекул. Для измерения количества вещества вводится единица – моль. В моле любого вещества содержится одинаковое число молекул моль^–1, называемое постоянной Авогадро.

Все молекулы находятся в непрерывном хаотическом движении, которое называется тепловым.

Молекулы газа обладают средней кинетической энергией поступательного движения

, (II.7)

где – масса одной молекулы;

- средняя квадратичная скорость поступательного движения молекул.

Согласно молекулярно – кинетической теории, эта энергия связана с термодинамической температурой соотношением

(II.8)

где – сумма поступательных и вращательных степеней свободы;

– постоянная Больцмана;

– термодинамическая температура газа.

Зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры

(II.9)

ЗАДАЧА № II.18Какой импульс передает молекула стенке сосуда, если, падая перпендикулярно к стенке: 1) отразится упруго с той же скоростью;

2) прилипнет к стенке? Масса молекулы , скорость .

Ответ:1) 2) .

ЗАДАЧА № II.19Какие молекулы в атмосфере движутся быстрее: молекулы кислорода или азота?

Ответ:Молекулы азота, так как , а .

ЗАДАЧА № II.20 Водород и кислород равной массы помещены в цилиндры со свободно перемещающимися поршнями. Чем будут отличаться изобары этих газов?

Ответ: Поскольку молекулы водорода и кислорода двухатомные, то при одной и той же температуре их средние кинетические энергии будут одинаковые. Однако, молекул водорода при одинаковых массах и объемов больше, поэтому водород создает большее давление. А для того чтобы давление было одинаковым, объём занимаемый кислородом, необходимо уменьшить в 16 раз ).

ЗАДАЧА № II.21Запуск искусственных спутников показал, что температура воздуха на высоте 1000 км достигает нескольких тысяч градусов. Почему же не расплавляется спутник, двигаясь на этой высоте? Температура плавления железа 1520⁰С.

Ответ:Из-за большой разреженности воздуха на высоте 1000 км он не может передать спутнику то количество теплоты, которое необходимо для его плавления.

ЗАДАЧА № II.22Средняя кинетическая энергия молекул газа при температуре Т зависит от их структуры, что связано с возможностью различных видов движения атомов в молекуле. При условии, что имеют место только поступательное и вращательное движение, определить среднюю энергию молекул водяного пара (Н₂О).

Ответ: Средняя кинетическая энергия любой молекулы . Молекула водяного пара многоатомная и имеет степеней свободы i = 6 (3 поступательных + 3 вращательных). Средняя энергия, приходящаяся на одну степень свободы . Следовательно, .

ЗАДАЧА № II.23Для молекулы воды (Н₂О) имеют место все виды движения. Чему равно число степеней свободы для такой молекулы?

Ответ: i = 9 (3 поступательных + 3 вращательных + 3 колебательных).

ЗАДАЧА № II.24Чему равно число степеней свободы для атомарного водорода?

Ответ: i = 3 (поступательных, вращательных и колебательных нет).

ЗАДАЧА № II.25Сколько молекул содержится в стакане воды?

Дано:кг/моль ;

г кг;

моль^–1 .

Найти:

Решение

Учитывая, что в моле находится молекул, находим

молекул.

ЗАДАЧА № II.26Плотность некоторого газа равна6·10^–2 кг/м³, средняя квадратичная скорость молекул этого газа 500 м/с. Определить давление, которое газ оказывает на стенку сосуда.

Дано:кг/м³;

м/с.

Найти:

Решение

Восновном уравнении молекулярно-кинетической теории

.

Произведение выражает массу молекул, содержащихся в единице объема вещества и, следовательно, равно плотности газа .Таким образом,

Па.

ЗАДАЧА № II.27Определить среднюю квадратичную скорость молекул кислорода при 20⁰С. При какой температуре эта скорость равна 500 м/с?

Дано: C; К;

м/с;

кг/моль.

Найти: ?

Решение

Кинетическая энергия одной молекулы газа равна

.

Согласно молекулярно – кинетической теории, средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы газа

Приравнивая правые части данных уравнений, получаем выражение для скорости

.

Так как то уравнение для скорости, можно переписать в виде

м/с.

Запишем уравнение для : и выразим из него : К.

ЗАДАЧА № II.28 В сосуде емкостью 3,5 л находится смесь газов, в которую входит 2·10¹⁵ молекул кислорода, 5·10¹⁵ молекул азота и 6,6·10^-7г аргона. Какова температура смеси, если давление в сосуде 1,74·10^{-4 мм.рт.ст.?}

Дано: л м³;

;

;

кг;

мм.рт.ст. Па;

кг/моль.

Найти:

Решение

Для нахождения температуры смеси можно использовать зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры

.

На основании закона Дальтона

,

где – парциальное давление ; – концентрация –того газа; ; – число молекул – того газа.

Для аргона ( – масса одной молекулы аргона.) Тогда

Отсюда искомая температура

.

Подставляя численные значения и проведя расчет, получим К.

ЗАДАЧА № II.29Оцените число молекул воздуха, падающих на 1 см² стены комнаты за 1 с. Атмосферное давление 1,01·10 ⁵ Па. Температура окружающей среды 27 ⁰С, молярная масса воздуха 0,029 кг/моль.

Дано: см² м²;

C; К;

Па.

Найти:

Решение

Согласно уравнению (II.9), концентрация молекул воздуха

. (1)

Число молекул, ударяющихся о стенку за 1 с

, (2)

где среднеквадратичная скорость , а число 6 в знаменателе означает направлений в пространстве. Подставляя (1) в (2) , получим

; с^-1.

ЗАДАЧА № II.30Откаченная лампа накаливания объёмом 10 см³ имеет трещину, в которую проникает 10⁶ частиц газа за 1с. Сколько времени понадобится, чтобы в лампе установилось нормальное давление? Температура 0 ⁰С.

Дано: см³ м³;

c ^{– 1};

Па; К.

Найти:

Решение

В лампе при нормальном давлении находится число молекул

,

где – концентрация молекул, определяемая из уравнения . Тогда число молекул будет равно .

Считая скорость проникновения молекул в сосуд постоянной, определим время

, с.

ЗАДАЧА № II.31Два сосуда, содержащие два разных газа, соединены трубкой с краном. Давление в сосудах и , число молекул и . Определить давление в сосудах, если открыть кран. Температура постоянна.

Дано:

Найти:

Решение

Давление в первом сосуде определяется выражением , где , следовательно,

, (1)

а во втором сосуде . (2)

После того как откроют кран, газы будут иметь общий объем , а давление станет равно

. (3)

Выразим из (1) , и из (2) .

Подставив в формулу (3) для , получим .

ЗАДАЧА № II.32Смесь азота и гелия при температуре 27⁰С находится под давлением 1,3·10² Па. Масса азота составляет 70 % от общей массы смеси. Найти концентрацию молекул каждого из газов.

Дано: C; К;

Па;

; кг/моль;

; кг/моль.

Найти:

Решение

Из уравнения , найдем концентрацию молекул смеси . Массы каждого из газов равны

, (1)

,(2)

где – объём газа. Поделив (1) на (2), найдем отношение концентраций

, отсюда ,а так как , то

м^-3; а м^-3.