II.1.3 СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
Число молекул, относительные скорости которых заключены в данном интервале (распределение Максвелла)
(II.10)
Относительная скорость молекул
(II.11)
Формула изменения концентрации молекул с высотой
(II.12)
Барометрическая формула
(II.13)
где и – давление, и – концентрация газа на высоте и ;
- молярная масса газа; – ускорение свободного падения.
Средняя квадратичная скорость молекул
.(II.14)
Средняя арифметическая скорость молекул
.(II.15)
Наиболее вероятная скорость
,(II.16)
где – масса одной молекулы.
ЗАДАЧА № II.33В законе распределения Максвелла для газовых молекул по скоростям кривая распределения асимптотически приближается к оси скоростей. Означает ли это, что молекулы газа, пусть с малой вероятностью, но могут иметь сколь угодно большие скорости?
Ответ: Скорость молекул ограничена определенным значением энергии теплового движения газа при данной температуре.
ЗАДАЧА № II.34 Возможны ли в газе с температурой К неподвижные молекулы?
Ответ: Их вероятность исчезающее мала, т.к. кривая распределения Максвелла проходит через начало координат.
ЗАДАЧА № II. 35Какой вид приобретет барометрическая формула на большой высоте?
Ответ:С высотой ускорение свободного падения уменьшается, поэтому необходимо использовать потенциальную энергию гравитационного поля
, и барометрическая формула примет вид , где – масса Земли, – масса молекулы газа.
ЗАДАЧА № II.36Как можно трактовать нормировку функции распределения Максвелла, а именно
Ответ:Как достоверное событие, имеющее вероятность равную единице.
ЗАДАЧА №II.37Почему отличаются по своему значению средняя квадратичная, средняя арифметическая и наиболее вероятная скорости газовых молекул?
Ответ:Это вызвано асимметричностью кривой распределения Максвелла.
ЗАДАЧА№ II.38Почему с повышением температуры газа вместе с расширением кривой распределения понижается ее максимум?
Ответ: Это следует из условия нормировки, а следовательно из постоянства площади под кривой.
ЗАДАЧА № II.39Влияют ли на максвелловское распределение молекул по скоростям параметры состояния газа?
Ответ:Влияет только температура.
ЗАДАЧА № II.40Если число молекул в сосуде увеличили, не изменив температуры, то как изменится число молекул, обладающих наиболее вероятной скоростью в максвелловском распределении молекул по скоростям?
Ответ: Число молекул, обладающих наиболее вероятными скоростями, увеличится.
ЗАДАЧА № II.41 В трех одинаковых сосудах при равных условиях находится одинаковое количество азота (N2), гелия (He), и водорода (H2). На рис. 27 дано распределение скоростей этих молекул. Каким кривым распределения соответствуют молекулы водорода и азота?
Рисунок 27- Распределение скоростей Рисунок 28- Кривые 1 и 2
молекул
Ответ: Водороду – 3, азоту – 1. Наиболее вероятная скорость , она зависит от молярной массы газа и будет наименьшей для азота, ( г/моль) и наибольшей у водорода ( г/моль).
ЗАДАЧА № II.42 В сосуде, разделенном на равные части неподвижной непроницаемой перегородкой, находится газ. Температуры газа в каждой части сосуда равны, масса газа в левой части больше, чем в правой . Какими кривыми (рис.28) будут описываться функции распределения молекул по скоростям для молекул газа в правой и левой частях сосуда?
Ответ: Газ в обеих частях сосуда одинаковый, температуры равны, следовательно наиболее вероятные скорости молекул тоже равны . Массы разные . В большей массе будет большее число молекул, следовательно, будет больше площадь под кривой функции распределения
. Кривая 1 – для левой части, кривая 2 – для правой части.
ЗАДАЧА № II.43 Определить долю молекул водорода, модули скоростей которых при температуре 27° С лежат в интервале от 1898 м/с до 1902 м/с.
Дано: кг/моль;
К;
м/с;
м/с.
Найти:
Решение
В данной задаче удобнее воспользоваться распределением молекул по относительным скоростям. Доля молекул , относительные скорости которых заключены в интервале от до , определяется формулой
, (1)
где – наиболее вероятная скорость; .
С учетом этих выражений формула (1) примет вид
.
Для удобства сначала вычислим
(м/с),
и отношение скоростей .
Подставим численные значения в (1) и найдем долю молекул водорода, модули скоростей которых лежат в интервале от до
.
ЗАДАЧА № II.44Броуновские частицы с массой 4 фгведут себя в тепловом движении подобно гигантским молекулам, и к ним можно применить закономерности молекулярно-кинетической теории. Исходя из этого, определить, во сколько раз уменьшится концентрация броуновских частиц при увеличении высоты на 1 мм. Температуру принять равной 300 К.
Дано: фг г кг;
мм м;
К.
Найти:
Решение
Для броуновских частиц воспользуемся распределением молекул по
высоте (распределение Больцмана)
,
где и – концентрация молекул на высоте и на высоте , соответственно. Выразим
Прологарифмируем и подставим численные значения,
.
Итак, то есть концентрация частиц уменьшится в раз.
ЗАДАЧА № II.45 На какой высоте над уровнем моря атмосферное давление составляет 78 кПа, если температура воздуха 170С и не меняется с высотой, а давление на уровне моря нормальное? Найти число частиц в единице объема на этой высоте.
Дано: C К;
Па;
Па;
кг/моль.
Найти:
Решение
Если температура не меняется с высотой, то для нахождения давления можно воспользоваться барометрической формулой (II.13)
логарифмируя эту формулу, получаем
Отсюда находим
м; м-3.
ЗАДАЧА № II.46Найти число молекул водорода, заключенных в 1см3 при нормальных условиях, а также число молекул значения скоростей которых лежат в интервале между 399 и 401 м/с.
Дано: см3 м3;
Па;
К;
м/с;
м/с;
кг/моль;
Найти:
Решение
Число молекул можно найти из распределения Максвелла, заданного в виде уравнения (II.10)
Для всех газов при нормальных условиях число молекул в 1 см3 одно и то же и равно см-3 (число Лошмидта).
Вычислим значения величин, входящих в распределение Максвелла
, м/с;
м/с; м/с;
ЗАДАЧА № II.47Температура окиси азота (NO) 300 К. Определить долю молекул, скорость которых лежит в интервале от 820 м/с до 830 м/с.
Дано: К;
м/с;
м/с;
кг/моль.
Найти:
Решение
Рассматриваемый газ находится в равновесном состоянии. Согласно распределению Максвелла, относительное число молекул, скорость которых заключена в интервале от до , ,
где – функция распределения Максвелла, которую можно представить в виде: где м/с.
Тогда
с/м.
Аналогично подсчитаем с/м.
В условии задачи требуется определить долю молекул, скорости которых лежат в диапазоне м/с.
Если в этом пределе функцию Максвелла можно с достаточной степенью точности считать постоянной, то искомая величина может быть рассчитана по приближённой формуле
т.е. Это значит, что при использовании этой формулы допускается ошибка, относительная величина которой
.
Следовательно, с указанной степенью точности можно использовать равенство , или .
Дата добавления: 2016-09-06; просмотров: 4122;